Decida se os limites abaixo existem, e no caso de existir, calcule o valor desse limite.
\lim _{\left(x_{1}, x_{2}\right) \rightarrow(0,0)} \frac{x_{2}}{x_{1}}\,

Passo 1

O enunciado pede para decidir se existe o limite
\lim_{(x_{1},x_{2})\to(0,0)} \frac{x_{2}}{x_{1}}.
Informações dadas:
  • A função considerada é \displaystyle f(x_{1},x_{2})=\frac{x_{2}}{x_{1}}.
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • Observação importante: a expressão \dfrac{x_{2}}{x_{1}} não está definida quando x_{1}=0. Mesmo assim, a noção de limite em duas variáveis permite aproximar (0,0) por pontos onde x_{1}\neq0.

Passo 2

Entendendo o que significa “o limite existe” em duas variáveis (em linguagem simples).
  • Dizemos que \displaystyle \lim_{(x_{1},x_{2})\to(0,0)} f(x_{1},x_{2})=L se, quando (x_{1},x_{2}) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho (usando apenas pontos onde f está definida), os valores f(x_{1},x_{2}) se aproximam de um mesmo número L.
  • Se existir ao menos um caminho de aproximação que dá um valor limite diferente de outro caminho, então o limite não existe.
  • Uma forma prática e comum de testar existência de limite é verificar limites ao longo de retas ou sequências que vão a (0,0). Se dois desses caminhos dão valores distintos, o limite não existe.

Passo 3

Aplicando a técnica dos caminhos: aproximar (0,0) por retas de inclinação m.
  • Considere aproximar por pontos que satisfazem a reta x_{2}=m x_{1}, com m fixo e x_{1}\to0. Nesses pontos x_{1}\neq0 (exceto no limite), então a função está definida.
  • Substituindo \,x_{2}=m x_{1}\, em \dfrac{x_{2}}{x_{1}} obtemos, para esses pontos,
\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{m x_{1}}{x_{1}}=m.
  • Essa é uma observação importante: ao aproximar por qualquer reta passando pela origem e diferente de x_{1}=0, a razão \dfrac{x_{2}}{x_{1}} toma o valor constante m (independente de quão perto de zero estamos).

Passo 4

Conclusão parcial a partir do passo anterior.
  • Como diferentes retas têm diferentes inclinações m, ao aproximar pela reta x_{2}=m x_{1} o valor da função tende a m.
  • Logo, se o limite existisse, teria que ser igual a m para todo m possível — isso é impossível, porque há muitas inclinações m distintas. Portanto já suspeitamos que o limite não existe.

Passo 5

Exemplos concretos de dois caminhos que dão valores diferentes (argumento robusto).
  • Caminho 1: escolher a reta x_{2}=0 (ou seja, pontos \big(x_{1},0\big) com x_{1}\to0). Para esses pontos
\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{0}{x_{1}}=0,
então ao aproximar (0,0) por essa reta os valores da função tendem para 0.
  • Caminho 2: escolher a reta x_{2}=x_{1} (ou seja, pontos \big(x_{1},x_{1}\big) com x_{1}\to0). Para esses pontos
\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{x_{1}}{x_{1}}=1,
então ao aproximar (0,0) por essa reta os valores da função tendem para 1.

Passo 6

Rigor via sequências (forma padrão de provar não existência).
  • Considere a sequência de pontos \left(x_{1}^{(n)},x_{2}^{(n)}\right)=\left(\dfrac{1}{n},0\right). Essa sequência converge para (0,0) quando n\to\infty. Os valores da função nessa sequência são \dfrac{0}{1/n}=0 para todo n, logo o limite da imagem é 0.
  • Considere outra sequência \left(x_{1}^{(n)},x_{2}^{(n)}\right)=\left(\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\right). Essa também converge para (0,0). Os valores da função nessa sequência são \dfrac{1/n}{1/n}=1 para todo n, logo o limite da imagem é 1.
  • Duas sequências convergentes para o mesmo ponto (0,0) produzem limites da imagem diferentes ( 0 e 1). Pelo critério de sequências para limites em várias variáveis, isso mostra rigorosamente que o limite não existe.

Passo 7

Resumo final e observação intuitiva.
  • A função assume valores diferentes dependendo da direção pela qual se aproxima a origem (por exemplo 0 ao aproximar pela reta x_{2}=0 e 1 ao aproximar pela reta x_{2}=x_{1}). Portanto não há um único número L que seja o limite para todas as direções.
  • Conclusão: o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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