Decida se os limites abaixo existem, e no caso de existir, calcule o valor desse limite.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se existe o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
. - Observação importante: a expressão
não está definida quando . Mesmo assim, a noção de limite em duas variáveis permite aproximar por pontos onde .
Passo 2
Entendendo o que significa “o limite existe” em duas variáveis (em linguagem simples).
- Dizemos que
se, quando se aproxima de por qualquer caminho (usando apenas pontos onde está definida), os valores se aproximam de um mesmo número . - Se existir ao menos um caminho de aproximação que dá um valor limite diferente de outro caminho, então o limite não existe.
- Uma forma prática e comum de testar existência de limite é verificar limites ao longo de retas ou sequências que vão a
. Se dois desses caminhos dão valores distintos, o limite não existe.
Passo 3
Aplicando a técnica dos caminhos: aproximar
por retas de inclinação
.
- Considere aproximar por pontos que satisfazem a reta
, com fixo e . Nesses pontos (exceto no limite), então a função está definida. - Substituindo
em obtemos, para esses pontos,
- Essa é uma observação importante: ao aproximar por qualquer reta passando pela origem e diferente de
, a razão toma o valor constante (independente de quão perto de zero estamos).
Passo 4
Conclusão parcial a partir do passo anterior.
- Como diferentes retas têm diferentes inclinações
, ao aproximar pela reta o valor da função tende a . - Logo, se o limite existisse, teria que ser igual a
para todo possível — isso é impossível, porque há muitas inclinações distintas. Portanto já suspeitamos que o limite não existe.
Passo 5
Exemplos concretos de dois caminhos que dão valores diferentes (argumento robusto).
- Caminho 1: escolher a reta
(ou seja, pontos com ). Para esses pontos
então ao aproximar
por essa reta os valores da função tendem para
.
- Caminho 2: escolher a reta
(ou seja, pontos com ). Para esses pontos
então ao aproximar
por essa reta os valores da função tendem para
.
Passo 6
Rigor via sequências (forma padrão de provar não existência).
- Considere a sequência de pontos
. Essa sequência converge para quando . Os valores da função nessa sequência são para todo , logo o limite da imagem é . - Considere outra sequência
. Essa também converge para . Os valores da função nessa sequência são para todo , logo o limite da imagem é . - Duas sequências convergentes para o mesmo ponto
produzem limites da imagem diferentes ( e ). Pelo critério de sequências para limites em várias variáveis, isso mostra rigorosamente que o limite não existe.
Passo 7
Resumo final e observação intuitiva.
- A função assume valores diferentes dependendo da direção pela qual se aproxima a origem (por exemplo
ao aproximar pela reta e ao aproximar pela reta ). Portanto não há um único número que seja o limite para todas as direções. - Conclusão: o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.