(2,0 pontos) Determine os extremos relativos de f(x)=2 x_{1}^{2}-3 x_{1} x_{2}+2 x_{2}^{2}+10 x_{1}-11 x_{2}.
Escuto e esqueço; vejo e recordo; faço e entendo.
(Lao Tsé)
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
A função dada é f(x)=2 x_{1}^{2}-3 x_{1} x_{2}+2 x_{2}^{2}+10 x_{1}-11 x_{2}.
As incógnitas são x_1 e x_2.
O que o enunciado pede: determinar os extremos relativos de f — ou seja, encontrar pontos críticos (se existirem) e dizer se cada ponto é mínimo, máximo ou ponto de sela, além do valor de f nesses pontos (quando for relevante).
Informações relevantes que vamos usar (retiradas diretamente do enunciado):
Coeficientes quadráticos: 2 em x_{1}^{2} e 2 em x_{2}^{2}.
Coeficiente misto: -3 em x_{1}x_{2}.
Termos lineares: 10 x_{1} e -11 x_{2}.
Passo 2
Encontrar os pontos críticos: calcular o gradiente de f e igualar a zero.
Explicação curta (o que é gradiente): o gradiente de f(x_1,x_2) é o vetor das derivadas parciais. Um ponto crítico ocorre quando todas as derivadas parciais se anulam simultaneamente, isto é, quando o gradiente é o vetor nulo.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} = \text{derivando termo a termo em relação a }x_{1}:
Vamos eliminar uma variável por combinação linear (método da eliminação). Multiplico a primeira equação por 4\) e a segunda por \(3\) para que os coeficientes de \(x_2\) fiquem opostos em soma:
\[\begin{cases} 16x_{1}-12x_{2}=-40,\\[4pt] -9x_{1}+12x_{2}=33. \end{cases}
Primeiro menor principal (principal superior esquerda) D_{1}=4.
Determinante de H: D_{2}=\det(H)=4\cdot 4 - (-3)\cdot(-3)=16-9=7.
Observações:
D_{1}=4>0,\qquad D_{2}=7>0.
Ambos são positivos, então pela condição de Sylvester a matriz H é definida positiva. Isso implica que o ponto crítico é um mínimo estrito (mínimo relativo). Para uma função polinomial quadrática com Hessiana definida positiva, esse mínimo é também global (porque a forma quadrática domina e cresce para +\infty quando \|(x_1,x_2)\| \to \infty).
Passo 6
Calcular o valor de f no ponto crítico (importante para a resposta final).
Substituindo \big(x_{1},x_{2}\big)=\big(-1,2\big) em f: