(2,0 pontos) Determine os extremos relativos de f(x)=2 x_{1}^{2}-3 x_{1} x_{2}+2 x_{2}^{2}+10 x_{1}-11 x_{2}.
Escuto e esqueço; vejo e recordo; faço e entendo.
(Lao Tsé)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • A função dada é f(x)=2 x_{1}^{2}-3 x_{1} x_{2}+2 x_{2}^{2}+10 x_{1}-11 x_{2}.
  • As incógnitas são x_1 e x_2.
  • O que o enunciado pede: determinar os extremos relativos de f — ou seja, encontrar pontos críticos (se existirem) e dizer se cada ponto é mínimo, máximo ou ponto de sela, além do valor de f nesses pontos (quando for relevante).
Informações relevantes que vamos usar (retiradas diretamente do enunciado):
  • Coeficientes quadráticos: 2 em x_{1}^{2} e 2 em x_{2}^{2}.
  • Coeficiente misto: -3 em x_{1}x_{2}.
  • Termos lineares: 10 x_{1} e -11 x_{2}.

Passo 2

Encontrar os pontos críticos: calcular o gradiente de f e igualar a zero.
Explicação curta (o que é gradiente): o gradiente de f(x_1,x_2) é o vetor das derivadas parciais. Um ponto crítico ocorre quando todas as derivadas parciais se anulam simultaneamente, isto é, quando o gradiente é o vetor nulo.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} = \text{derivando termo a termo em relação a }x_{1}:çã
\frac{\partial}{\partial x_{1}}\big(2x_{1}^{2}\big)=4x_{1},\qquad \frac{\partial}{\partial x_{1}}\big(-3x_{1}x_{2}\big)=-3x_{2},\qquad \frac{\partial}{\partial x_{1}}\big(10x_{1}\big)=10,
os outros termos não dependem de x_1. Logo
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} = 4x_{1}-3x_{2}+10.
Agora \partial f/\partial x_{2}:
\frac{\partial}{\partial x_{2}}\big(2x_{2}^{2}\big)=4x_{2},\qquad \frac{\partial}{\partial x_{2}}\big(-3x_{1}x_{2}\big)=-3x_{1},\qquad \frac{\partial}{\partial x_{2}}\big(-11x_{2}\big)=-11,
os outros termos não dependem de x_2. Logo
\frac{\partial f}{\partial x_{2}} = -3x_{1}+4x_{2}-11.
O gradiente é
\nabla f(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}4x_{1}-3x_{2}+10\\[4pt]-3x_{1}+4x_{2}-11\end{pmatrix}.
Pontos críticos satisfazem \nabla f=0, isto é o sistema linear:
\begin{cases} 4x_{1}-3x_{2}+10=0,\\[4pt] -3x_{1}+4x_{2}-11=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema linear para obter o ponto crítico.
Escrevendo as equações de forma limpa:
\begin{cases} 4x_{1}-3x_{2}=-10,\\[4pt] -3x_{1}+4x_{2}=11. \end{cases}
Vamos eliminar uma variável por combinação linear (método da eliminação). Multiplico a primeira equação por 4\) e a segunda por \(3\) para que os coeficientes de \(x_2\) fiquem opostos em soma: \[\begin{cases} 16x_{1}-12x_{2}=-40,\\[4pt] -9x_{1}+12x_{2}=33. \end{cases}
Somando as duas equações:
(16x_{1}-9x_{1}) + (-12x_{2}+12x_{2}) = -40+33 \quad\Rightarrow\quad 7x_{1} = -7.
Logo
x_{1} = -1.
Substituindo x_{1}=-1\] em uma das equações originais, por exemplo em \(4x_{1}-3x_{2}=-10:
4(-1)-3x_{2}=-10 \quad\Rightarrow\quad -4-3x_{2}=-10 \quad\Rightarrow\quad -3x_{2}=-6.
Portanto
x_{2}=2.
Concluímos que há um único ponto crítico: \big(x_{1},x_{2}\big)=\big(-1,2\big).]

Passo 4

Classificar o ponto crítico: calcular a matriz Hessiana e aplicar critério de classificação.
O que é Hessiana e como usá-la (mini-aula): a matriz Hessiana H é a matriz das segundas derivadas parciais:
H(x_1,x_2)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}\\[6pt] \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}\partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} \end{pmatrix}.
Para funções duas variáveis, um critério prático (critério de Sylvester/segunda forma) é:
  • se H no ponto crítico for definida positiva (todos os menores principais positivos), então o ponto é mínimo estrito;
  • se H for definida negativa (menores principais alternando sinais começando por negativo), então é máximo estrito;
  • se o determinante de H for negativo, é ponto de sela;
  • se o determinante for zero o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas (são constantes, pois f é quadrática):
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} = \frac{\partial}{\partial x_1}(4x_1-3x_2+10)=4,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} = \frac{\partial}{\partial x_2}(4x_1-3x_2+10)=-3,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} = \frac{\partial}{\partial x_2}(-3x_1+4x_2-11)=4.
Como f tem derivadas mistas contínuas, \partial^{2} f/\partial x_{1}\partial x_{2}=\partial^{2} f/\partial x_{2}\partial x_{1}=-3.
Portanto a Hessiana é a matriz constante
H=\begin{pmatrix}4 & -3\\[4pt]-3 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Aplicar o critério para H.
Calcular os menores principais:
  • Primeiro menor principal (principal superior esquerda) D_{1}=4.
  • Determinante de H: D_{2}=\det(H)=4\cdot 4 - (-3)\cdot(-3)=16-9=7.
Observações:
D_{1}=4>0,\qquad D_{2}=7>0.
Ambos são positivos, então pela condição de Sylvester a matriz H é definida positiva. Isso implica que o ponto crítico é um mínimo estrito (mínimo relativo). Para uma função polinomial quadrática com Hessiana definida positiva, esse mínimo é também global (porque a forma quadrática domina e cresce para +\infty quando \|(x_1,x_2)\| \to \infty).

Passo 6

Calcular o valor de f no ponto crítico (importante para a resposta final).
Substituindo \big(x_{1},x_{2}\big)=\big(-1,2\big) em f:
f(-1,2)=2(-1)^{2}-3(-1)(2)+2(2)^{2}+10(-1)-11(2).
Calculemos termo a termo:
2(-1)^{2}=2,\qquad -3(-1)(2)=+6,\qquad 2(2)^{2}=8,
10(-1)=-10,\qquad -11(2)=-22.
Somando:
f(-1,2)=2+6+8-10-22 = 16-32 = -16.
Portanto no ponto crítico (-1,2) a função assume o valor -16.

Resposta

Ponto crítico: (-1,2); mínimo relativo (estrito) e também mínimo global; f(-1,2)=-16.

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