(1,0 ponto) Determine a equação de do plano tangente T S_{a}, onde a=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, 1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto
a=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\;\frac{1}{\sqrt{3}},\;1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
A pergunta é: determinar a equação do plano tangente T S_{a} — ou seja, o plano tangente à superfície S no ponto a.
Informações relevantes fornecidas:
  • A coordenada do ponto a (copiada do enunciado).
  • O que se pede: a equação do plano tangente a uma superfície S no ponto a.
Informação que falta e que é essencial:
  • A definição da superfície S (por exemplo, uma equação implícita F(x,y,z)=0, uma função z=f(x,y), ou uma parametrização \mathbf{r}(u,v)). Sem essa informação não é possível calcular derivadas ou o vetor normal no ponto a nem verificar se a\in S.

Passo 2

O que é, em termos concretos, um plano tangente: dados um ponto a de uma superfície S e informações diferenciais sobre S em a, o plano tangente é o plano que melhor aproxima S perto de a. Para escrevê-lo precisamos de um vetor normal ao plano em a (ou de duas direções tangentes).
Vou ensinar as três formas mais comuns de obter esse vetor normal — assim, quando tiveres a definição de S, sabrás exatamente o que fazer na prova.

Passo 3

Caso 1 — superfície dada de forma implícita: F(x,y,z)=0.
  • Ideia: a direção de maior variação de F é perpendicular às superfícies de nível F=\text{const}. Assim, o gradiente de F em a é um vetor normal ao plano tangente.
  • Definição do gradiente: \displaystyle \nabla F(x,y,z) = \left(\frac{\partial F}{\partial x},\;\frac{\partial F}{\partial y},\;\frac{\partial F}{\partial z}\right).
  • Fórmula do plano tangente (usando o vetor normal \nabla F(a)):
\nabla F(a)\cdot\big((x,y,z)-a\big)=0.
Isto é, se \nabla F(a)=(A,B,C) e a=(x_0,y_0,z_0), então o plano é
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
  • Lembrete prático para a prova: calcule \partial_x F,\;\partial_y F,\;\partial_z F, avalie em a e use a fórmula acima. Antes de tudo confirme que F(a)=0 (isto é, que a pertence à superfície).

Passo 4

Caso 2 — superfície dada como gráfico: z=f(x,y).
  • Ideia: o plano tangente é a aproximação linear da função f em torno do ponto (x_0,y_0).
  • Derivadas parciais: \displaystyle f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x},\quad f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}.
  • Fórmula do plano tangente (no ponto (x_0,y_0,z_0) com z_0=f(x_0,y_0)):
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
  • Como usar na prova: calcule f_x e f_y, avalie-os em (x_0,y_0) (as primeiras duas coordenadas de a) e escreva a equação acima. Verifique sempre que z_0=f(x_0,y_0).

Passo 5

Caso 3 — superfície parametrizada: \mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)).
  • Ideia: as derivadas parciais \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v geram o plano tangente; um normal é dado pelo produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v.
  • Procedimento:
    1. calcular \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v,
    2. avaliar em (u_0,v_0) tal que \mathbf{r}(u_0,v_0)=a,
    3. tomar \mathbf{n}=\mathbf{r}_u(u_0,v_0)\times\mathbf{r}_v(u_0,v_0),
    4. escrever o plano com \mathbf{n}\cdot\big((x,y,z)-a\big)=0.
  • Observação prática: este é o método usado quando S vem por parametrização (ex.: esferas, toros, superfícies geradas por curvas).

Passo 6

Exemplos rápidos (para fixar o procedimento):
  • Exemplo implícito: se F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3 e a=(1,1,1) (note verificar F(a)=0), então \nabla F=(2x,2y,2z), \nabla F(a)=(2,2,2) e o plano é
2(x-1)+2(y-1)+2(z-1)=0,
que simplifica para x+y+z=3.
  • Exemplo gráfico: se z=f(x,y)=x^2+y^2 e a=(1,1,2) (pois 2=1^2+1^2), então f_x=2x,\;f_y=2y, avaliando em (1,1) obtém-se f_x=2,\;f_y=2. Logo o plano tangente é
z = 2 + 2(x-1) + 2(y-1),
ou seja z = 2x+2y-2.

Passo 7

Aplicando à questão concreta: por mais que tenhamos o ponto a, para obter a equação numérica do plano tangente precisamos da definição da superfície S (uma das formas acima). Também é necessário confirmar que a\in S (verificando F(a)=0 no caso implícito, ou z_0=f(x_0,y_0) no caso de gráfico, ou encontrar (u_0,v_0) na parametrização).
Como o enunciado fornecido aqui não inclui a equação, expressão ou parametrização da superfície S, não é possível calcular \nabla F(a) nem f_x,f_y nem \mathbf{r}_u,\mathbf{r}_v. Portanto não dá para obter uma expressão concreta do plano tangente em termos numéricos.

Passo 8

O que deves fazer agora (na prova ou ao pedir ajuda): copiar a equação de S (por exemplo F(x,y,z)=0 ou z=f(x,y) ou \mathbf{r}(u,v)) e então aplicar o método correspondente mostrado nos passos anteriores. Se quiseres, quando tiveres a equação de S eu faço os cálculos passo a passo e mostro cada derivada e cada simplificação.

Resposta

Não é possível determinar a equação do plano tangente T S_{a} porque a superfície S não foi fornecida; é necessário fornecer a equação ou parametrização de S e confirmar que a\in S.

Exercícios relacionados