(1,0 ponto) Determine a equação de do plano tangente
, onde
.
Passo 1
O enunciado nos dá o ponto
A pergunta é: determinar a equação do plano tangente
— ou seja, o plano tangente à superfície
no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A coordenada do ponto
(copiada do enunciado). - O que se pede: a equação do plano tangente a uma superfície
no ponto .
Informação que falta e que é essencial:
- A definição da superfície
(por exemplo, uma equação implícita , uma função , ou uma parametrização ). Sem essa informação não é possível calcular derivadas ou o vetor normal no ponto nem verificar se .
Passo 2
O que é, em termos concretos, um plano tangente: dados um ponto
de uma superfície
e informações diferenciais sobre
em
, o plano tangente é o plano que melhor aproxima
perto de
. Para escrevê-lo precisamos de um vetor normal ao plano em
(ou de duas direções tangentes).
Vou ensinar as três formas mais comuns de obter esse vetor normal — assim, quando tiveres a definição de
, sabrás exatamente o que fazer na prova.
Passo 3
Caso 1 — superfície dada de forma implícita:
.
- Ideia: a direção de maior variação de
é perpendicular às superfícies de nível . Assim, o gradiente de em é um vetor normal ao plano tangente. - Definição do gradiente:
. - Fórmula do plano tangente (usando o vetor normal
):
Isto é, se
e
, então o plano é
- Lembrete prático para a prova: calcule
, avalie em e use a fórmula acima. Antes de tudo confirme que (isto é, que pertence à superfície).
Passo 4
Caso 2 — superfície dada como gráfico:
.
- Ideia: o plano tangente é a aproximação linear da função
em torno do ponto . - Derivadas parciais:
. - Fórmula do plano tangente (no ponto
com ):
- Como usar na prova: calcule
e , avalie-os em (as primeiras duas coordenadas de ) e escreva a equação acima. Verifique sempre que .
Passo 5
Caso 3 — superfície parametrizada:
.
- Ideia: as derivadas parciais
e geram o plano tangente; um normal é dado pelo produto vetorial . - Procedimento:
- calcular
e , - avaliar em
tal que , - tomar
, - escrever o plano com
.
- calcular
- Observação prática: este é o método usado quando
vem por parametrização (ex.: esferas, toros, superfícies geradas por curvas).
Passo 6
Exemplos rápidos (para fixar o procedimento):
- Exemplo implícito: se
e (note verificar ), então , e o plano é
que simplifica para
.
- Exemplo gráfico: se
e (pois ), então , avaliando em obtém-se . Logo o plano tangente é
ou seja
.
Passo 7
Aplicando à questão concreta: por mais que tenhamos o ponto
, para obter a equação numérica do plano tangente precisamos da definição da superfície
(uma das formas acima). Também é necessário confirmar que
(verificando
no caso implícito, ou
no caso de gráfico, ou encontrar
na parametrização).
Como o enunciado fornecido aqui não inclui a equação, expressão ou parametrização da superfície
, não é possível calcular
nem
nem
. Portanto não dá para obter uma expressão concreta do plano tangente em termos numéricos.
Passo 8
O que deves fazer agora (na prova ou ao pedir ajuda): copiar a equação de
(por exemplo
ou
ou
) e então aplicar o método correspondente mostrado nos passos anteriores. Se quiseres, quando tiveres a equação de
eu faço os cálculos passo a passo e mostro cada derivada e cada simplificação.
Resposta
Não é possível determinar a equação do plano tangente
porque a superfície
não foi fornecida; é necessário fornecer a equação ou parametrização de
e confirmar que
.