Decida se os limites abaixo existem, e no caso de existir, calcule o valor desse limite. \lim _{\left(x_{1}, x_{2}\right) \rightarrow(0,0)} \frac{x_{2}^{4}}{x_{2}^{1}+x_{2}^{2}}
existe e, se existir, calcular o valor. As informações relevantes são:
A expressão depende só de x_{2}; não há x_{1} no numerador nem no denominador.
O denominador é \,x_{2}^{1}+x_{2}^{2}=\;x_{2}+x_{2}^{2}.
Há um potencial problema quando x_{2}=0, porque aí o denominador é zero e a função não está definida nesse ponto. Mesmo assim, para o limite em várias variáveis interessa o comportamento ao nos aproximarmos de (0,0) por pontos onde a função está definida (i.e., com x_{2}\neq0).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão quando x_{2}\neq0. Fatore o denominador:
Note que a simplificação é válida apenas para x_{2}\neq0, o que é suficiente para estudar o limite, pois o limite considera pontos próximos (mas diferentes) de (0,0).
Passo 3
Agora observamos que a função simplificada depende somente de x_{2}. Portanto o limite multidimensional reduz-se ao limite unidimensional
Isto acontece porque a expressão não muda com x_{1}; o comportamento quando (x_{1},x_{2})\to(0,0) é determinado por x_{2}\to0.
Passo 4
Calculamos o limite unidimensional. Como 1+x_{2}\to1 quando x_{2}\to0 e x_{2}^{3}\to0, a intuição é que a fração tende a 0. Para ser rigoroso, use um argumento de dominante: escolha um intervalo pequeno, por exemplo |x_{2}|<\tfrac{1}{2}. Nesse intervalo vale