Decida se os limites abaixo existem, e no caso de existir, calcule o valor desse limite.
\lim _{\left(x_{1}, x_{2}\right) \rightarrow(0,0)} \frac{x_{2}^{4}}{x_{2}^{1}+x_{2}^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o limite
\lim_{\left(x_{1},x_{2}\right)\to(0,0)} \frac{x_{2}^{4}}{x_{2}^{1}+x_{2}^{2}}
existe e, se existir, calcular o valor. As informações relevantes são:
  • A expressão depende só de x_{2}; não há x_{1} no numerador nem no denominador.
  • O denominador é \,x_{2}^{1}+x_{2}^{2}=\;x_{2}+x_{2}^{2}.
  • Há um potencial problema quando x_{2}=0, porque aí o denominador é zero e a função não está definida nesse ponto. Mesmo assim, para o limite em várias variáveis interessa o comportamento ao nos aproximarmos de (0,0) por pontos onde a função está definida (i.e., com x_{2}\neq0).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão quando x_{2}\neq0. Fatore o denominador:
x_{2}+x_{2}^{2}=x_{2}(1+x_{2}).
Assim, para x_{2}\neq0 temos
\frac{x_{2}^{4}}{x_{2}+x_{2}^{2} }=\frac{x_{2}^{4}}{x_{2}(1+x_{2})}=\frac{x_{2}^{3}}{1+x_{2}}.
Note que a simplificação é válida apenas para x_{2}\neq0, o que é suficiente para estudar o limite, pois o limite considera pontos próximos (mas diferentes) de (0,0).

Passo 3

Agora observamos que a função simplificada depende somente de x_{2}. Portanto o limite multidimensional reduz-se ao limite unidimensional
\lim_{(x_{1},x_{2})\to(0,0)}\frac{x_{2}^{3}}{1+x_{2}}=\lim_{x_{2}\to0}\frac{x_{2}^{3}}{1+x_{2}}.
Isto acontece porque a expressão não muda com x_{1}; o comportamento quando (x_{1},x_{2})\to(0,0) é determinado por x_{2}\to0.

Passo 4

Calculamos o limite unidimensional. Como 1+x_{2}\to1 quando x_{2}\to0 e x_{2}^{3}\to0, a intuição é que a fração tende a 0. Para ser rigoroso, use um argumento de dominante: escolha um intervalo pequeno, por exemplo |x_{2}|<\tfrac{1}{2}. Nesse intervalo vale
|1+x_{2}|\ge 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},
portanto para |x_{2}|<\tfrac{1}{2} temos
\left|\frac{x_{2}^{3}}{1+x_{2}}\right|\le 2|x_{2}|^{3}.
Como \lim_{x_{2}\to0}2|x_{2}|^{3}=0, pela desigualdade de comparação segue que
\lim_{x_{2}\to0}\frac{x_{2}^{3}}{1+x_{2}}=0.
Isso prova que o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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