Considere a superfcie S: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{3}=0.
( 1,0 ponto) Determine as equações paramétricas e simétricas da reta normal a S no ponto a, para a=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, 1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície S e um ponto a. Precisamos:
  • Dados: a superfície
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{3}=0
e o ponto
a=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\;\frac{1}{\sqrt{3}},\;1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
  • Pergunta: determinar as equações paramétricas e as equações simétricas da reta normal a S no ponto a.

Passo 2

Ideia e justificativa do método (passo didático): para uma superfície dada implicitamente por uma função F(x_1,x_2,x_3)=0, o vetor gradiente \nabla F no ponto fornece uma direção normal à superfície naquele ponto. Explicando com calma:
  • Defina \;F(x_1,x_2,x_3)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2x_{3}.
  • O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla F = \left(\frac{\partial F}{\partial x_1},\;\frac{\partial F}{\partial x_2},\;\frac{\partial F}{\partial x_3}\right).
  • Por que isso é normal? Porque para qualquer vetor tangente v à superfície em um ponto, a derivada direcional de F ao longo de v é zero (a função F permanece constante igual a zero sobre a superfície), e essa derivada direcional é exatamente \nabla F\cdot v. Logo \nabla F é orthogonal a todo vetor tangente, ou seja, é normal.

Passo 3

Calcular o gradiente explicitamente e avaliá-lo em a.
  • Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial F}{\partial x_1}=2x_1,\qquad \frac{\partial F}{\partial x_2}=2x_2,\qquad \frac{\partial F}{\partial x_3}=2x_3-2.
  • Portanto
\nabla F(x)=\bigl(2x_1,\;2x_2,\;2x_3-2\bigr).
  • Avaliando em a, com x_1=x_2=\dfrac{1}{\sqrt{3}} e x_3=1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}:
\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x_1}(a)&=2\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}},\\[4pt] \frac{\partial F}{\partial x_2}(a)&=2\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}},\\[4pt] \frac{\partial F}{\partial x_3}(a)&=2\Bigl(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)-2 =2+ \frac{2}{\sqrt{3}}-2=\frac{2}{\sqrt{3}}. \end{aligned}
  • Logo
\nabla F(a)=\left(\frac{2}{\sqrt{3}},\;\frac{2}{\sqrt{3}},\;\frac{2}{\sqrt{3}}\right).
  • Observação útil: qualquer múltiplo não-nulo do vetor normal também é normal. Podemos simplificar dividindo por \dfrac{2}{\sqrt{3}} e tomar o vetor direção mais simples
\mathbf{n}=(1,1,1),
que aponta na mesma direção.]

Passo 4

Equações paramétricas da reta normal: forma geral.
  • A reta normal que passa por a e tem direção \mathbf{n}=(1,1,1) é dada em forma vetorial por
\mathbf{r}(t)=a+t\,\mathbf{n},\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Escrevendo componente a componente, as equações paramétricas são
\begin{aligned} x_{1}(t)&=\dfrac{1}{\sqrt{3}}+t,\\[4pt] x_{2}(t)&=\dfrac{1}{\sqrt{3}}+t,\\[4pt] x_{3}(t)&=1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+t, \end{aligned} \qquad t\in\mathbb{R}.
  • Comentário rápido: quando t=0 recupera-se o ponto a, e variar t move ao longo da reta na direção normal.]

Passo 5

Equações simétricas da reta normal: forma padrão.
  • A forma simétrica padrão da reta com direção (n_1,n_2,n_3) e ponto a=(a_1,a_2,a_3) é
\frac{x_1-a_1}{n_1}=\frac{x_2-a_2}{n_2}=\frac{x_3-a_3}{n_3}.
  • Aqui n_1=n_2=n_3=1 e a_1=a_2=\dfrac{1}{\sqrt{3}},\;a_3=1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Assim as equações simétricas ficam
\frac{x_1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1}=\frac{x_2-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1}=\frac{x_3-\bigl(1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)}{1},
ou de forma ainda mais direta
x_1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=x_2-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=x_3-\Bigl(1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr).

Resposta

Paramétricas:
x_{1}(t)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}+t,\qquad x_{2}(t)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}+t,\qquad x_{3}(t)=1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+t,\quad t\in\mathbb{R}.
Simétricas:
\frac{x_1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1}=\frac{x_2-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1}=\frac{x_3-\bigl(1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)}{1}.

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