Considere a superfcie
.
( 1,0 ponto) Determine as equações paramétricas e simétricas da reta normal a
no ponto
, para
.
( 1,0 ponto) Determine as equações paramétricas e simétricas da reta normal a
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
e um ponto
. Precisamos:
- Dados: a superfície
e o ponto
- Pergunta: determinar as equações paramétricas e as equações simétricas da reta normal a
no ponto .
Passo 2
Ideia e justificativa do método (passo didático): para uma superfície dada implicitamente por uma função
, o vetor gradiente
no ponto fornece uma direção normal à superfície naquele ponto. Explicando com calma:
- Defina
- O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
- Por que isso é normal? Porque para qualquer vetor tangente
à superfície em um ponto, a derivada direcional de ao longo de é zero (a função permanece constante igual a zero sobre a superfície), e essa derivada direcional é exatamente . Logo é orthogonal a todo vetor tangente, ou seja, é normal.
Passo 3
Calcular o gradiente explicitamente e avaliá-lo em
.
- Calcule as derivadas parciais:
- Portanto
- Avaliando em
, com e :
- Logo
- Observação útil: qualquer múltiplo não-nulo do vetor normal também é normal. Podemos simplificar dividindo por
e tomar o vetor direção mais simples
que aponta na mesma direção.]
Passo 4
Equações paramétricas da reta normal: forma geral.
- A reta normal que passa por
e tem direção é dada em forma vetorial por
- Escrevendo componente a componente, as equações paramétricas são
- Comentário rápido: quando
recupera-se o ponto , e variar move ao longo da reta na direção normal.]
Passo 5
Equações simétricas da reta normal: forma padrão.
- A forma simétrica padrão da reta com direção
e ponto é
- Aqui
e . Assim as equações simétricas ficam
ou de forma ainda mais direta
Resposta
Paramétricas:
Simétricas: