(2,0 pontos) Determine os extremos relativos de f(x)=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3 x_{2}^{2}-3 x_{1}-9 x_{2}+2.
Quem conhece a sua ignorância revela a mais profunda sapiêcia. Quem ignora a sua ignorância vive na mais profunda ilusão.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os extremos relativos da função
f(x)=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3 x_{2}^{2}-3 x_{1}-9 x_{2}+2.
Informações fornecidas:
  • A função depende de duas variáveis: x_{1} e x_{2}.
  • Deve-se encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer extremos relativos) e classificar cada ponto como mínimo relativo, máximo relativo ou ponto de sela.
  • É útil também calcular o valor de f nesses pontos para saber o valor do extremo.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais de primeira ordem e formar o gradiente. Conceito rápido (explicação didática): o gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais; pontos críticos ocorrem quando \nabla f=\mathbf{0}. Portanto, vamos calcular \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} e \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}.
As derivadas parciais são:
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}=3x_{1}^{2}-3=3\bigl(x_{1}^{2}-1\bigr),
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}=3x_{2}^{2}+6x_{2}-9=3\bigl(x_{2}^{2}+2x_{2}-3\bigr).
Explicando: cada derivada parcial é obtida tratando a outra variável como constante e diferenciando como se fosse uma função de uma variável só. Os fatores 3 saem da diferenciação de x_{1}^{3} e x_{2}^{3}, etc.

Passo 3

Agora igualamos o gradiente a zero para obter os pontos críticos:
3\bigl(x_{1}^{2}-1\bigr)=0,\qquad 3\bigl(x_{2}^{2}+2x_{2}-3\bigr)=0.
Dividindo por 3 (não altera as soluções),
x_{1}^{2}-1=0,\qquad x_{2}^{2}+2x_{2}-3=0.
Resolver essas equações:
Para x_{1}:
x_{1}^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\pm 1.
Para x_{2} (uma quadrática que pode ser fatorada):
x_{2}^{2}+2x_{2}-3=(x_{2}-1)(x_{2}+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=1 \text{ ou } x_{2}=-3.
Os pontos críticos são todas as combinações possíveis:
(1,1),\quad (1,-3),\quad (-1,1),\quad (-1,-3).

Passo 4

Para classificar os pontos usamos a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas. Explicando a ideia: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais. Em duas variáveis, se o determinante da Hessiana em um ponto é positivo e f_{x_{1}x_{1}}>0 então há mínimo; se determinante positivo e f_{x_{1}x_{1}}<0 então máximo; se determinante negativo é ponto de sela; se determinante zero o teste é inconclusivo.

Passo 5

Calcular as segundas derivadas e a Hessiana:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}=6x_{1},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}}=6x_{2}+6,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}=0.
Assim a Hessiana é a matriz diagonal
H(x)=\begin{pmatrix}6x_{1} & 0\\[4pt] 0 & 6x_{2}+6\end{pmatrix}.
O determinante é
\det H(x)=\bigl(6x_{1}\bigr)\bigl(6x_{2}+6\bigr)=36\,x_{1}(x_{2}+1).]

Passo 6

Avaliar o teste no ponto (1,1).
Calcular f_{x_{1}x_{1}} e \det H:
f_{x_{1}x_{1}}(1,1)=6\cdot 1=6>0,
\det H(1,1)=36\cdot 1\cdot(1+1)=36\cdot 2=72>0.
Como \det H>0 e f_{x_{1}x_{1}}>0, (1,1) é um mínimo relativo.
Calcular o valor de f em (1,1):
f(1,1)=1^{3}+1^{3}+3\cdot 1^{2}-3\cdot 1-9\cdot 1+2=1+1+3-3-9+2=-5.

Passo 7

Avaliar o teste no ponto (1,-3).
Calcular f_{x_{1}x_{1}} e \det H:
f_{x_{1}x_{1}}(1,-3)=6\cdot 1=6>0,
\det H(1,-3)=36\cdot 1\cdot(-3+1)=36\cdot(-2)=-72<0.
Como \det H<0, (1,-3) é um ponto de sela.
Calcular f(1,-3):
f(1,-3)=1^{3}+(-3)^{3}+3\cdot(-3)^{2}-3\cdot 1-9\cdot(-3)+2=27.

Passo 8

Avaliar o teste no ponto (-1,1).
Calcular f_{x_{1}x_{1}} e \det H:
f_{x_{1}x_{1}}(-1,1)=6\cdot(-1)=-6<0,
\det H(-1,1)=36\cdot(-1)\cdot(1+1)=36\cdot(-2)=-72<0.
Como \det H<0, (-1,1) é um ponto de sela.
Calcular f(-1,1):
f(-1,1)=(-1)^{3}+1^{3}+3\cdot 1^{2}-3\cdot(-1)-9\cdot 1+2=-1.

Passo 9

Avaliar o teste no ponto (-1,-3).
Calcular f_{x_{1}x_{1}} e \det H:
f_{x_{1}x_{1}}(-1,-3)=6\cdot(-1)=-6<0,
\det H(-1,-3)=36\cdot(-1)\cdot(-3+1)=36\cdot(-1)\cdot(-2)=72>0.
Como \det H>0 e f_{x_{1}x_{1}}<0, (-1,-3) é um máximo relativo.
Calcular f(-1,-3):
f(-1,-3)=(-1)^{3}+(-3)^{3}+3\cdot(-3)^{2}-3\cdot(-1)-9\cdot(-3)+2=31.

Resposta

(1,1): mínimo relativo, f(1,1)=-5
(1,-3): ponto de sela, f(1,-3)=27
(-1,1): ponto de sela, f(-1,1)=-1
(-1,-3): máximo relativo, f(-1,-3)=31

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