(2,0 pontos) Determine os extremos relativos de
.
Quem conhece a sua ignorância revela a mais profunda sapiêcia. Quem ignora a sua ignorância vive na mais profunda ilusão.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os extremos relativos da função
Informações fornecidas:
- A função depende de duas variáveis:
e . - Deve-se encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer extremos relativos) e classificar cada ponto como mínimo relativo, máximo relativo ou ponto de sela.
- É útil também calcular o valor de
nesses pontos para saber o valor do extremo.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais de primeira ordem e formar o gradiente. Conceito rápido (explicação didática): o gradiente
é o vetor das derivadas parciais; pontos críticos ocorrem quando
. Portanto, vamos calcular
e
.
As derivadas parciais são:
Explicando: cada derivada parcial é obtida tratando a outra variável como constante e diferenciando como se fosse uma função de uma variável só. Os fatores
saem da diferenciação de
e
, etc.
Passo 3
Agora igualamos o gradiente a zero para obter os pontos críticos:
Dividindo por
(não altera as soluções),
Resolver essas equações:
Para
:
Para
(uma quadrática que pode ser fatorada):
Os pontos críticos são todas as combinações possíveis:
Passo 4
Para classificar os pontos usamos a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas. Explicando a ideia: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais. Em duas variáveis, se o determinante da Hessiana em um ponto é positivo e
então há mínimo; se determinante positivo e
então máximo; se determinante negativo é ponto de sela; se determinante zero o teste é inconclusivo.
Passo 5
Calcular as segundas derivadas e a Hessiana:
Assim a Hessiana é a matriz diagonal
O determinante é
Passo 6
Avaliar o teste no ponto
.
Calcular
e
:
Como
e
,
é um mínimo relativo.
Calcular o valor de
em
:
Passo 7
Avaliar o teste no ponto
.
Calcular
e
:
Como
,
é um ponto de sela.
Calcular
:
Passo 8
Avaliar o teste no ponto
.
Calcular
e
:
Como
,
é um ponto de sela.
Calcular
:
Passo 9
Avaliar o teste no ponto
.
Calcular
e
:
Como
e
,
é um máximo relativo.
Calcular
: