decida se os limites abaixo existem, e no caso de existir calcule o seu valor.
\lim {x \rightarrow 0} \sqrt{x{1}{2}+x_{2}{2}} \ln \frac{1}{\sqrt{x_{1}{2}+x_{2}{2}}}

Passo 1

O enunciado pede que decidamos se o limite
\lim_{(x_1,x_2)\to(0,0)} \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\;\ln\frac{1}{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}
existe e, se existir, que calculemos seu valor. As informações dadas são as componentes x_1,x_2 variando em \mathbb{R} e a expressão depende apenas da combinação \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Observação útil (redução para uma variável): defina
r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}.
Aqui r\ge 0. Quando (x_1,x_2)\to(0,0) temos r\to 0^+ (isto é, aproximação por valores positivos de r). A expressão do enunciado depende só de r, então o limite multivariável reduz-se ao limite univariável
\lim_{r\to 0^+} r\;\ln\frac{1}{r}.
Justificativa breve: para cada par (x_1,x_2) associamos o mesmo r, e a expressão original é exatamente r\ln(1/r). Portanto estudar o limite quando (x_1,x_2)\to(0,0) é equivalente a estudar quando r\to0^+.

Passo 3

Análise do sinal e forma da função em uma vizinhança de 0: para 0<r<1 tem-se \ln\frac{1}{r}>0, então r\ln\frac{1}{r}\ge 0. Portanto o limite, caso exista, deverá ser um número não negativo. Agora vamos calcular esse limite univariável.

Passo 4

Mudança de variável que facilita: coloque u=\dfrac{1}{r}. Quando r\to 0^+ temos u\to +\infty. Reescrevendo a expressão,
r\ln\frac{1}{r}=\frac{\ln u}{u}.
Logo
\lim_{r\to 0^+} r\ln\frac{1}{r}=\lim_{u\to\infty}\frac{\ln u}{u}.

Passo 5

Cálculo do limite \displaystyle \lim_{u\to\infty}\dfrac{\ln u}{u}. Esta é uma forma \dfrac{\infty}{\infty}, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital (é uma regra padrão para limites de quocientes onde numerador e denominador tendem a infinito): diferenciar numerador e denominador em relação a u. As derivadas são
\frac{d}{du}(\ln u)=\frac{1}{u}, \qquad \frac{d}{du}(u)=1.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{u\to\infty}\frac{\ln u}{u}=\lim_{u\to\infty}\frac{1/u}{1}=\lim_{u\to\infty}\frac{1}{u}=0.
Portanto
\lim_{r\to 0^+} r\ln\frac{1}{r}=0.

Passo 6

Conclusão final e interpretação intuitiva: o limite existe. Intuitivamente, r tende a 0 enquanto \ln(1/r) tende a +\infty, mas a queda de r domina o crescimento lento do logaritmo, fazendo o produto ir a 0. Assim o limite multivariável original existe e vale 0.

Resposta

0

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