Decida se é melhor utilizar coordenadas cilindricas ou esféricas para calcular a integral em cada um casos abaixo.
(f)
.
(f)
Passo 1
Vamos entender o que temos: a integral tripla
O conteúdo envolve mudança de variáveis em integrais múltiplas e identificação de superfícies que definem a região de integração.
Passo 2
O enunciado nos dá duas superfícies que aparecem nos limites de integração:
-
, que é um cone de 45° (pois ). -
, que é uma esfera de raio .
Além disso, estamos no primeiro quadrante de( ).
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas
, usamos:
O integrando fica
Os limites viram constantes:
.
Isso deixa a integral bastante direta.
Isso deixa a integral bastante direta.
Passo 4
Em coordenadas esféricas
, teríamos:
O integrando
vira uma expressão com
, e os limites seriam
.
Embora os limites sejam todos constantes, o integrando é mais complicado.
Embora os limites sejam todos constantes, o integrando é mais complicado.
Passo 5
Comparando as duas opções, em coordenadas cilíndricas a integral tem um integrando mais simples e mantém apenas um limite de
dependente de
. Em esféricas, o integrando é mais pesado (
) e dificulta um pouco a integral. Portanto, é muito mais conveniente usar coordenadas cilíndricas.
Resposta
Melhor usar coordenadas cilíndricas.