Decida se é melhor utilizar coordenadas cilindricas ou esféricas para calcular a integral em cada um casos abaixo.
(f) integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz2-x^2-y^2 x y d z d y d x.

Passo 1

Vamos entender o que temos: a integral tripla
integral0^1integral0^raiz1-x^2integralraizx^2+y^2^raiz2 - x^2 - y^2 x,y,dz,dy,dx
O conteúdo envolve mudança de variáveis em integrais múltiplas e identificação de superfícies que definem a região de integração.

Passo 2

O enunciado nos dá duas superfícies que aparecem nos limites de integração:
  • z=raizx^2+y^2, que é um cone de 45° (pois z=r).
  • x^2+y^2+z^2=2, que é uma esfera de raio raiz2.
    Além disso, estamos no primeiro quadrante de xy ( x,y>=0).

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), usamos:
x = rcostheta, y = rsintheta, dV = r,dr,dtheta,dz
O integrando fica
x,y,dV = (rcostheta)(rsintheta)(r,dr,dtheta,dz) = r^3costhetasintheta,dr,dtheta,dz
Os limites viram constantes:
.
Isso deixa a integral bastante direta.

Passo 4

Em coordenadas esféricas (rho,phi,theta), teríamos:
x = rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
O integrando x,y,dV vira uma expressão com rho^4sin^3phicosthetasintheta, e os limites seriam
.
Embora os limites sejam todos constantes, o integrando é mais complicado.

Passo 5

Comparando as duas opções, em coordenadas cilíndricas a integral tem um integrando mais simples e mantém apenas um limite de z dependente de r. Em esféricas, o integrando é mais pesado ( rho^4sin^3phi) e dificulta um pouco a integral. Portanto, é muito mais conveniente usar coordenadas cilíndricas.

Resposta

Melhor usar coordenadas cilíndricas.

Exercícios relacionados