Decida se é melhor utilizar coordenadas cilindricas ou esféricas para calcular a integral em cada um casos abaixo.
(e) integral-raiz3^raiz3 integral-raiz3-x^2^raiz3-x^2 integralraiz3 x^2+3 y^2^3 x^2+y^2 d z d y d x.

Passo 1

A integral é integral-raiz3^raiz3integral-raiz3-x^2^raiz3-x^2integralraiz3(x^2+y^2)^3(x^2+y^2),dz,dy,dx. O enunciado cai em cálculo de integrais triplas e precisamos decidir entre coordenadas cilíndricas ou esféricas.

Passo 2

Repare que a projeção no plano xy é o disco x^2+y^2<=3, e que a superfície inferior é z=raiz3(x^2+y^2)=raiz3,r. A parte superior é o plano z=3. Então a região é o volume entre um cone reto e um plano.

Passo 3

O integrando é x^2+y^2, que em coordenadas cilíndricas vira r^2. O elemento de volume em cilíndricas é r,dr,dtheta,dz, fazendo o integrando ficar r^2cdot r = r^3. Além disso as fronteiras ficam muito simples: 0<= r<=raiz3, 0<=theta<= 2pi, raiz3r<= z<=3.

Passo 4

Em coordenadas esféricas teríamos que escrever o cone z=raiz3,r como phi=arctan(1/raiz3) e o plano z=3 também complica as fronteiras. Por isso “esféricas” não traz simplificação aqui.

Passo 5

Concluindo, o mais natural e direto é usar coordenadas cilíndricas, pois integrando em (r,theta,z) o integrando e as fronteiras ficam fáceis de descrever.

Resposta

É melhor usar coordenadas cilíndricas.

Exercícios relacionados