Decida se é melhor utilizar coordenadas cilindricas ou esféricas para calcular a integral em cada um casos abaixo.
(e)
.
(e)
Passo 1
A integral é
. O enunciado cai em cálculo de integrais triplas e precisamos decidir entre coordenadas cilíndricas ou esféricas.
Passo 2
Repare que a projeção no plano
é o disco
, e que a superfície inferior é
. A parte superior é o plano
. Então a região é o volume entre um cone reto e um plano.
Passo 3
O integrando é
, que em coordenadas cilíndricas vira
. O elemento de volume em cilíndricas é
, fazendo o integrando ficar
. Além disso as fronteiras ficam muito simples:
.
Passo 4
Em coordenadas esféricas teríamos que escrever o cone
como
e o plano
também complica as fronteiras. Por isso “esféricas” não traz simplificação aqui.
Passo 5
Concluindo, o mais natural e direto é usar coordenadas cilíndricas, pois integrando em
o integrando e as fronteiras ficam fáceis de descrever.
Resposta
É melhor usar coordenadas cilíndricas.