Decida se os pontos A(0,3,-2), B(2,3,0), C(6,6,5) e D(6,4,3) são coplanares.

Passo 1

O enunciado pede que decidamos se os quatro pontos A(0,3,-2), B(2,3,0), C(6,6,5) e D(6,4,3) são coplanares.
Informações dadas (as coordenadas dos pontos):
A(0,3,-2),\qquad B(2,3,0),\qquad C(6,6,5),\qquad D(6,4,3).

Passo 2

O que significa “coplanares” (explicação didática): quatro pontos em \mathbb{R}^3 são coplanares quando todos os vetores que ligam um deles aos outros pertencem ao mesmo plano. Uma forma prática de testar isso é calcular o produto triplo escalar de três vetores formados por esses pontos; se o produto triplo for zero, o volume do paralelepípedo formado por esses vetores é zero, então os vetores (e os pontos) estão todos no mesmo plano. Vou usar esse método porque é direto de aplicar na prova e leva a um cálculo simples.
Breve explicação do produto triplo escalar (teoria curta e concreta):
  • Dados três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} em \mathbb{R}^3, o produto triplo escalar é \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
  • Geometricamente, |\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})| é o volume do paralelepípedo construído sobre \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
  • Se esse volume for zero, então os três vetores são coplanares (estão em um mesmo plano), e consequentemente os quatro pontos usados para formar esses vetores são coplanares.
  • Fórmula prática: o produto triplo pode ser calculado como o determinante 3×3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores.

Passo 3

Formo três vetores a partir de A (escolhi A como referência): \vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}, \vec{AC}=\vec{C}-\vec{A} e \vec{AD}=\vec{D}-\vec{A}. Calculo componente a componente:
\vec{AB} = (2-0,\;3-3,\;0-(-2)) = (2,\;0,\;2).
\vec{AC} = (6-0,\;6-3,\;5-(-2)) = (6,\;3,\;7).
\vec{AD} = (6-0,\;4-3,\;3-(-2)) = (6,\;1,\;5).
Expliquei passo a passo como obtive cada componente: subtraí coordenada a coordenada do ponto A das coordenadas de B,C,D.

Passo 4

Agora calculo o produto triplo \vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD}). Primeiro o produto vetorial \vec{AC}\times\vec{AD}. Para vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) usamos a fórmula (determinante com \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}):
\vec{u}\times\vec{v} = \big(u_2v_3-u_3v_2,\; -(u_1v_3-u_3v_1),\; u_1v_2-u_2v_1\big).
Como exemplo rápido para fixar: (1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1).
Aplicando a fórmula a \vec{AC}=(6,3,7) e \vec{AD}=(6,1,5):
  • componente x (primeira): 3\cdot5 - 7\cdot1 = 15 - 7 = 8.
  • componente y (segunda): -(6\cdot5 - 7\cdot6) = -(30 - 42) = -(-12) = 12. (dou atenção ao sinal negativo da fórmula)
  • componente z (terceira): 6\cdot1 - 3\cdot6 = 6 - 18 = -12.
Logo
\vec{AC}\times\vec{AD} = (8,\;12,\;-12).

Passo 5

Agora faço o produto escalar entre \vec{AB}=(2,0,2) e \vec{AC}\times\vec{AD}=(8,12,-12):
\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD}) = 2\cdot8 + 0\cdot12 + 2\cdot(-12).
Calculo cada termo: 2\cdot8=16, 0\cdot12=0, 2\cdot(-12)=-24. Somando,
\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD}) = 16 + 0 - 24 = -8.
Interpretação: o produto triplo é -8, que é diferente de zero. Como o produto triplo representa o volume (com sinal) do paralelepípedo formado por \vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}, um valor diferente de zero indica que o volume é não nulo, ou seja, os três vetores não são coplanares. Consequentemente, os quatro pontos A,B,C,D não estão todos em um mesmo plano.

Passo 6

Resumo da decisão e dica prática para a prova: produto triplo diferente de zero ⇒ pontos não coplanares. Na prova, faço exatamente esses passos: calcular três vetores a partir de um ponto, formar o determinante (ou calcular \vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})) e verificar se o resultado é zero. Aqui o cálculo deu -8\neq0, então não são coplanares. Força aí — esse método é rápido e confiável na hora da prova.

Resposta

Não — os pontos não são coplanares (produto triplo escalar \vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD}) = -8 \neq 0).

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