Decida se os pontos
e
são coplanares.
Passo 1
O enunciado pede que decidamos se os quatro pontos
,
,
e
são coplanares.
Informações dadas (as coordenadas dos pontos):
Informações dadas (as coordenadas dos pontos):
Passo 2
O que significa “coplanares” (explicação didática): quatro pontos em
são coplanares quando todos os vetores que ligam um deles aos outros pertencem ao mesmo plano. Uma forma prática de testar isso é calcular o produto triplo escalar de três vetores formados por esses pontos; se o produto triplo for zero, o volume do paralelepípedo formado por esses vetores é zero, então os vetores (e os pontos) estão todos no mesmo plano. Vou usar esse método porque é direto de aplicar na prova e leva a um cálculo simples.
Breve explicação do produto triplo escalar (teoria curta e concreta):
- Dados três vetores
em , o produto triplo escalar é . - Geometricamente,
é o volume do paralelepípedo construído sobre . - Se esse volume for zero, então os três vetores são coplanares (estão em um mesmo plano), e consequentemente os quatro pontos usados para formar esses vetores são coplanares.
- Fórmula prática: o produto triplo pode ser calculado como o determinante 3×3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores.
Passo 3
Formo três vetores a partir de
(escolhi
como referência):
,
e
. Calculo componente a componente:
Expliquei passo a passo como obtive cada componente: subtraí coordenada a coordenada do ponto
das coordenadas de
.
Passo 4
Agora calculo o produto triplo
. Primeiro o produto vetorial
. Para vetores
e
usamos a fórmula (determinante com
):
Como exemplo rápido para fixar:
.
Aplicando a fórmula a
e
:
- componente
(primeira): . - componente
(segunda): (dou atenção ao sinal negativo da fórmula) - componente
(terceira): .
Logo
Passo 5
Agora faço o produto escalar entre
e
:
Calculo cada termo:
,
,
. Somando,
Interpretação: o produto triplo é
, que é diferente de zero. Como o produto triplo representa o volume (com sinal) do paralelepípedo formado por
, um valor diferente de zero indica que o volume é não nulo, ou seja, os três vetores não são coplanares. Consequentemente, os quatro pontos
não estão todos em um mesmo plano.
Passo 6
Resumo da decisão e dica prática para a prova: produto triplo diferente de zero ⇒ pontos não coplanares. Na prova, faço exatamente esses passos: calcular três vetores a partir de um ponto, formar o determinante (ou calcular
) e verificar se o resultado é zero. Aqui o cálculo deu
, então não são coplanares. Força aí — esse método é rápido e confiável na hora da prova.
Resposta
Não — os pontos não são coplanares (produto triplo escalar
).