Determine todos os números reais k tais que os vetores
(2,1,2), \quad(1, k, 1), \quad(3,1, k)
sejam coplanares.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os números reais k tais que os três vetores
(2,1,2),\qquad (1,k,1),\qquad (3,1,k)
sejam coplanares.
Informações dadas: os três vetores acima (todos em \mathbb{R}^3) e a condição que devemos impor sobre k para que eles fiquem no mesmo plano. Não há outras informações adicionais no enunciado.
Passo 2
O que significa, na prática, que três vetores em \mathbb{R}^3 sejam coplanares? Vou explicar de um jeito bem intuitivo: três vetores são coplanares quando eles não conseguem gerar um volume tridimensional — isto é, o paralelepípedo formado por eles tem volume 0. Existe uma quantidade chamada produto triplo escalar, escrita como (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}, que mede exatamente esse volume (em valor absoluto). Se o produto triplo escalar for 0, então os vetores são coplanares. Outra forma equivalente e prática de calcular isso é fazer o determinante 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores: esse determinante é igual ao produto triplo escalar. Portanto, a condição de coplanaridade é que esse determinante seja igual a 0.
Passo 3
Vou aplicar isso diretamente: montamos o determinante com as coordenadas dos vetores como linhas (poderíamos usar colunas, dá no mesmo). Seja
D=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\[4pt] 1 & k & 1\\[4pt] 3 & 1 & k \end{vmatrix}.
A condição de coplanaridade é D=0.]
Passo 4
Agora calculamos D por desenvolvimento pela primeira linha (expansão em cofatores). A fórmula da expansão pela primeira linha é
D = a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\[4pt]a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\[4pt]a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\[4pt]a_{31}&a_{32}\end{vmatrix},
onde a_{ij} são os elementos da matriz. Substituindo os valores da nossa matriz: