Determine todos os números reais k tais que os vetores
(2,1,2), \quad(1, k, 1), \quad(3,1, k)
sejam coplanares.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os números reais k tais que os três vetores
(2,1,2),\qquad (1,k,1),\qquad (3,1,k)
sejam coplanares.
Informações dadas: os três vetores acima (todos em \mathbb{R}^3) e a condição que devemos impor sobre k para que eles fiquem no mesmo plano. Não há outras informações adicionais no enunciado.

Passo 2

O que significa, na prática, que três vetores em \mathbb{R}^3 sejam coplanares? Vou explicar de um jeito bem intuitivo: três vetores são coplanares quando eles não conseguem gerar um volume tridimensional — isto é, o paralelepípedo formado por eles tem volume 0. Existe uma quantidade chamada produto triplo escalar, escrita como (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}, que mede exatamente esse volume (em valor absoluto). Se o produto triplo escalar for 0, então os vetores são coplanares. Outra forma equivalente e prática de calcular isso é fazer o determinante 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores: esse determinante é igual ao produto triplo escalar. Portanto, a condição de coplanaridade é que esse determinante seja igual a 0.

Passo 3

Vou aplicar isso diretamente: montamos o determinante com as coordenadas dos vetores como linhas (poderíamos usar colunas, dá no mesmo). Seja
D=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\[4pt] 1 & k & 1\\[4pt] 3 & 1 & k \end{vmatrix}.
A condição de coplanaridade é D=0.]

Passo 4

Agora calculamos D por desenvolvimento pela primeira linha (expansão em cofatores). A fórmula da expansão pela primeira linha é
D = a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\[4pt]a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\[4pt]a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\[4pt]a_{31}&a_{32}\end{vmatrix},
onde a_{ij} são os elementos da matriz. Substituindo os valores da nossa matriz:
D = 2\begin{vmatrix}k & 1\\[4pt]1 & k\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix}1 & 1\\[4pt]3 & k\end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix}1 & k\\[4pt]3 & 1\end{vmatrix}.]

Passo 5

Calcule cada determinante 2\times2 separado, lembrando que \begin{vmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{vmatrix}=ad-bc.
\begin{vmatrix}k & 1\\[4pt]1 & k\end{vmatrix}=k\cdot k - 1\cdot 1 = k^{2}-1,
\begin{vmatrix}1 & 1\\[4pt]3 & k\end{vmatrix}=1\cdot k - 1\cdot 3 = k-3,
\begin{vmatrix}1 & k\\[4pt]3 & 1\end{vmatrix}=1\cdot 1 - k\cdot 3 = 1-3k.]

Passo 6

Substituindo esses valores em D:
D = 2(k^{2}-1) - 1\cdot(k-3) + 2(1-3k).
Agora simplificamos passo a passo:
D = 2k^{2} - 2 - k + 3 + 2 - 6k.
Agrupando termos semelhantes (termos em k^{2}, em k e constantes):
D = 2k^{2} + (-k - 6k) + (-2 + 3 + 2).
Portanto
D = 2k^{2} - 7k + 3.

Passo 7

A condição de coplanaridade é D=0, então devemos resolver a equação quadrática
2k^{2} - 7k + 3 = 0.
Para resolver uma equação quadrática ak^{2}+bk+c=0 usamos o discriminante \Delta = b^{2}-4ac. Aqui a=2, b=-7, c=3. Calculamos
\Delta = (-7)^{2} - 4\cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25.
Como \Delta=25, a raiz quadrada é \sqrt{\Delta}=5. As soluções são
k = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{4}.

Passo 8

Portanto as duas soluções são
k = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3
e
k = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \tfrac{1}{2}.
Isso significa que exatamente para k=3 e k=\tfrac{1}{2} o determinante (produto triplo escalar) é 0, logo os vetores são coplanares.

Resposta

k=3
k=\tfrac{1}{2}

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