Decida se o seguintes vetores são coplanares:
(2,3,-1), \quad(1,-1,3), \quad(1,9,-11)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
(2,3,-1),\qquad (1,-1,3),\qquad (1,9,-11).
A pergunta é: esses três vetores são coplanares?
Informações importantes que temos: as três coordenadas de cada vetor (já listadas acima). A tarefa é decidir se existe um plano que contém os três vetores (quando colocados com origem comum), ou equivalentemente se eles são linearmente dependentes.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): trois vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se o volume do paralelepípedo que eles formam for zero. Esse volume pode ser calculado pelo produto misto (ou produto triplo escalar), que é igual ao determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são os vetores. Se esse determinante for zero, o volume é zero e os vetores são coplanares; se for diferente de zero, formam base de \mathbb{R}^3 e não são coplanares.
Explicando o determinante 3\times3 de forma prática (regra de Sarrus / fórmula de desenvolvimento por linha):
Para a matriz
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
o determinante é
\det = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Aqui cada a_{ij} é o elemento da linha i coluna j. Esse número representa o volume orientado do paralelepípedo formado pelos vetores dados.]

Passo 3

Aplicando isso aos nossos vetores: montamos a matriz com as coordenadas (cada vetor como linha):
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1\\[4pt] 1 & -1 & 3\\[4pt] 1 & 9 & -11 \end{pmatrix}.
Usando a fórmula do determinante, identifiquemos os elementos:
a_{11}=2,\; a_{12}=3,\; a_{13}=-1,
a_{21}=1,\; a_{22}=-1,\; a_{23}=3,
a_{31}=1,\; a_{32}=9,\; a_{33}=-11.]

Passo 4

Calculemos cada termo do determinante passo a passo.
Primeiro termo:
a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) =2\big((-1)\cdot(-11) - 3\cdot 9\big).
Dentro do parêntese:
(-1)\cdot(-11)=11,\qquad 3\cdot 9=27,
então
(-1)\cdot(-11)-3\cdot 9 = 11-27 = -16.
Logo o primeiro termo é
2\cdot(-16) = -32.
Segundo termo:
- a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) = -3\big(1\cdot(-11) - 3\cdot 1\big).
Dentro do parêntese:
1\cdot(-11) = -11,\qquad 3\cdot 1 = 3,
então
1\cdot(-11) - 3\cdot 1 = -11 - 3 = -14.
Logo o segundo termo é
-3\cdot(-14) = +42.
Terceiro termo:
a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) = (-1)\big(1\cdot 9 - (-1)\cdot 1\big).
Dentro do parêntese:
1\cdot 9 = 9,\qquad (-1)\cdot 1 = -1,\qquad 9 - (-1) = 10.
Então o terceiro termo é
(-1)\cdot 10 = -10.

Passo 5

Somando os três termos para obter o determinante:
\det(A) = -32 + 42 - 10.
Calculemos:
-32 + 42 = 10,\qquad 10 - 10 = 0.
Portanto
\det(A) = 0.

Passo 6

Interpretação do resultado: como o determinante (produto triplo escalar) é zero, o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores é zero. Logo os vetores são linearmente dependentes e, por isso, coplanares — existe um plano que contém os três vetores quando colocados com a mesma origem.
Para reforçar a intuição, podemos encontrar explicitamente coeficientes \lambda\) e \(\mu\) tais que \[(1,9,-11) = \lambda(2,3,-1) + \mu(1,-1,3).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2\lambda + \mu = 1,\\[4pt] 3\lambda - \mu = 9,\\[4pt] -\,\lambda + 3\mu = -11. \end{cases}
Da primeira equação vem \mu = 1-2\lambda\]. Substituindo na segunda: \[3\lambda - (1-2\lambda) = 9 \implies 5\lambda -1 = 9 \implies 5\lambda = 10 \implies \lambda = 2.\] Então \(\mu = 1-2\cdot 2 = -3. Conferindo na terceira equação:
-2 + 3(-3) = -2 -9 = -11,
está correto. Assim
(1,9,-11) = 2(2,3,-1) - 3(1,-1,3),
mostrando explicitamente a dependência linear e, portanto, a coplanaridade.]

Resposta

Sim. São coplanares.

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