A pergunta é: esses três vetores são coplanares?
Informações importantes que temos: as três coordenadas de cada vetor (já listadas acima). A tarefa é decidir se existe um plano que contém os três vetores (quando colocados com origem comum), ou equivalentemente se eles são linearmente dependentes.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): trois vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se o volume do paralelepípedo que eles formam for zero. Esse volume pode ser calculado pelo produto misto (ou produto triplo escalar), que é igual ao determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são os vetores. Se esse determinante for zero, o volume é zero e os vetores são coplanares; se for diferente de zero, formam base de \mathbb{R}^3 e não são coplanares.
Explicando o determinante 3\times3 de forma prática (regra de Sarrus / fórmula de desenvolvimento por linha):
Para a matriz
Interpretação do resultado: como o determinante (produto triplo escalar) é zero, o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores é zero. Logo os vetores são linearmente dependentes e, por isso, coplanares — existe um plano que contém os três vetores quando colocados com a mesma origem.
Para reforçar a intuição, podemos encontrar explicitamente coeficientes \lambda\) e \(\mu\) tais que
\[(1,9,-11) = \lambda(2,3,-1) + \mu(1,-1,3).