Decida se as proposições são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação “Se
, então
” é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de derivada e concavidade para analisar.
Passo 2
Lembrando da teoria, ter
significa que a função é côncava para cima (convexa) em
. Isso diz respeito ao formato local da curva, mas não garante nada sobre o sinal de
, que indica se a função está subindo ou descendo naquele ponto.
Passo 3
Para mostrar que a implicação não vale, basta um contraexemplo. Seja
. Calculando as derivadas:
e
. Então, para qualquer
,
, mas
, que não é maior que zero.
Passo 4
Como encontramos um ponto (por exemplo,
) em que
mas
, concluímos que a proposição é falsa.
Resposta
A proposição é falsa.