Decida se as proposições são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Se f^prime prime(a)>0, então f^prime(a)>0.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação “Se f''(a)>0, então f'(a)>0” é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de derivada e concavidade para analisar.

Passo 2

Lembrando da teoria, ter f''(a)>0 significa que a função é côncava para cima (convexa) em x=a. Isso diz respeito ao formato local da curva, mas não garante nada sobre o sinal de f'(a), que indica se a função está subindo ou descendo naquele ponto.

Passo 3

Para mostrar que a implicação não vale, basta um contraexemplo. Seja f(x)=x^2. Calculando as derivadas: f'(x)=2x e f''(x)=2. Então, para qualquer a, f''(a)=2>0, mas f'(0)=2cdot0=0, que não é maior que zero.

Passo 4

Como encontramos um ponto (por exemplo, a=0) em que f''(a)>0 mas f'(a)nmid>0, concluímos que a proposição é falsa.

Resposta

A proposição é falsa.

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