Decida se as proposições são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Seja f(x)=llx^3, & x<1 x^3+1, & x >= 1. Então f^prime(1)=3, pois f^prime(x)=3 x^2.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)=x^3,&x<1x^3+1,&x>=1
e pergunta se vale que f'(1)=3 usando a regra f'(x)=3x^2. O conteúdo envolvido é diferenciabilidade e continuidade de funções por partes.

Passo 2

Para a derivada existir em um ponto, a função precisa ser contínua ali. Vamos verificar a continuidade em x=1:
  • f(1^-)=limxto1^-x^3=1^3=1
  • f(1)=1^3+1=2
  • f(1^+)=limxto1^+(x^3+1)=1+1=2
Como f(1^-)neq f(1), a função é descontínua em x=1.

Passo 3

Como não há continuidade em x=1, não pode haver derivada ali. Logo a afirmação “ f'(1)=3” é falsa, pois na verdade f'(1) não existe.

Resposta

A proposição é falsa: a descontinuidade de f em x=1 impede a existência de f’(1).

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