Seja f: R R a função dada por f(x)=x^510-x^4+3 x^3.
O gráfico de f tem inflexão em x=0 ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o gráfico de f(x)= x^510-x^4+3x^3 tem ponto de inflexão em x=0. O conteúdo envolvido é derivadas de segunda ordem e teste de mudança de concavidade; vamos precisar calcular f', depois f'' e checar sinal de f'' em torno de x=0.

Passo 2

Para achar f'(x), aplicamos as regras de potência termo a termo: temos
f(x)=x^510-x^4+3x^3
Derivando cada termo:
f'(x)=5x^410-4x^3+9x^2 = x^42-4x^3+9x^2

Passo 3

Agora derivamos mais uma vez para obter f''(x). De
f'(x)=x^42-4x^3+9x^2
vem
f''(x)=2x^3-12x^2+18x

Passo 4

Fatorando f''(x) para estudar o sinal:
f''(x)=2x(x^2-6x+9)=2x(x-3)^2

Passo 5

Avalia-se em x=0:
f''(0)=2cdot0cdot(0-3)^2=0

Passo 6

Para x<0, o fator 2(x−3)² é positivo e o x é negativo, logo f''(x)<0. Para x>0, x é positivo e (x−3)² continua positivo, logo f''(x)>0. Ou seja, f'' muda de negativa para positiva ao passar por 0.

Passo 7

Como f''(0)=0 e há troca de sinal de f'' em x=0, concluímos que existe ponto de inflexão em x=0.

Resposta

Sim. Como f''(x)=2x(x-3)^2, temos f''(0)=0 e f'' muda de negativa (para x<0) para positiva (para x>0), caracterizando ponto de inflexão em x=0.

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