Seja
a função dada por
.
O gráfico de
tem inflexão em
?
O gráfico de
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o gráfico de f(x)=
tem ponto de inflexão em x=0. O conteúdo envolvido é derivadas de segunda ordem e teste de mudança de concavidade; vamos precisar calcular
, depois
e checar sinal de
em torno de x=0.
Passo 2
Para achar
, aplicamos as regras de potência termo a termo: temos
Derivando cada termo:
Passo 3
Agora derivamos mais uma vez para obter
. De
vem
Passo 4
Fatorando
para estudar o sinal:
Passo 5
Avalia-se em x=0:
Passo 6
Para x<0, o fator 2(x−3)² é positivo e o x é negativo, logo
. Para x>0, x é positivo e (x−3)² continua positivo, logo
. Ou seja,
muda de negativa para positiva ao passar por 0.
Passo 7
Como
e há troca de sinal de
em x=0, concluímos que existe ponto de inflexão em x=0.
Resposta
Sim. Como
, temos
e
muda de negativa (para x<0) para positiva (para x>0), caracterizando ponto de inflexão em x=0.