Decida se S é LI ou LD nos casos:
S=\left\{f_{1}, f_{2}, f_{3}\right\} \subset \mathcal{F}, onde f_{1}(x)=1, f_{2}(x)=\cos x e f_{3}(x)=\cos 2 x.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto
S = \{f_{1},f_{2},f_{3}\}\subset \mathcal{F}, \quad f_{1}(x)=1,\;f_{2}(x)=\cos x,\;f_{3}(x)=\cos2x
é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Vamos usar ortogonalidade de funções trigonométricas no intervalo [0,2\pi].

Passo 2

Assumimos uma combinação linear nula. Isto é, suponha que existam constantes a,b,c tais que, para todo x,
a\cdot1 + b\cos x + c\cos2x = 0.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por 1 e integramos de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}(a + b\cos x + c\cos2x)\,\mathrm{d}x = 0.
Pelas propriedades de ortogonalidade,
\int_{0}^{2\pi}\cos x\,\mathrm{d}x = 0, \quad \int_{0}^{2\pi}\cos2x\,\mathrm{d}x = 0,
logo sobra
a\int_{0}^{2\pi}1\,\mathrm{d}x = a\cdot2\pi = 0 \quad\Longrightarrow\quad a=0.

Passo 4

Agora multiplicamos a combinação original por \cos x e integramos:
\int_{0}^{2\pi}(a + b\cos x + c\cos2x)\cos x\,\mathrm{d}x = 0.
Como a=0 e \int_{0}^{2\pi}\cos x\cos2x\,\mathrm{d}x = 0, só resta
b\int_{0}^{2\pi}\cos^2 x\,\mathrm{d}x = b\cdot\pi = 0 \quad\Longrightarrow\quad b=0.

Passo 5

Finalmente, multiplicamos por \cos2x e integramos:
\int_{0}^{2\pi}(a + b\cos x + c\cos2x)\cos2x\,\mathrm{d}x = 0.
Sabendo que a=0, b=0 e \int_{0}^{2\pi}\cos^2 2x\,\mathrm{d}x = \pi, obtemos
c\,\pi = 0 \quad\Longrightarrow\quad c=0.

Resposta

O único modo de
a\cdot1 + b\cos x + c\cos2x = 0
para todo x é a=b=c=0. Portanto, S é linearmente independente (LI).

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