Sejam u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r} vetores de um espaço vetorial. Mostre que: \alpha_{1} u_{1}+\alpha_{2} u_{2}+\cdots+\alpha_{r} u_{r}=\beta_{1} u_{1}+\beta_{2} u_{2}+\cdots+\beta_{r} u_{r} \Rightarrow \alpha_{1}=\beta_{1}, \alpha_{2}=\beta_{2}, \cdots, \alpha_{r}=\beta_{r} se e somente se os vetores u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r} são LI.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos vetores u_{1},u_{2},\dots,u_{r} em um espaço vetorial. Precisamos mostrar que a condição
\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\cdots+\alpha_{r}u_{r} = \beta_{1}u_{1}+\beta_{2}u_{2}+\cdots+\beta_{r}u_{r} \;\Longrightarrow\; \alpha_{i}=\beta_{i}\text{ para todo }i
é equivalente a dizer que u_{1},u_{2},\dots,u_{r} são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear: eles são LI se a única combinação
c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+\cdots+c_{r}u_{r}=0
é a trivial, ou seja, c_{1}=\cdots=c_{r}=0.

Passo 2

Direção “ \Rightarrow”: suponha que u_{1},\dots,u_{r} sejam LI e que
\alpha_{1}u_{1}+\cdots+\alpha_{r}u_{r} = \beta_{1}u_{1}+\cdots+\beta_{r}u_{r}.
Subtraindo os dois lados, obtemos
(\alpha_{1}-\beta_{1})u_{1}+\cdots+(\alpha_{r}-\beta_{r})u_{r}=0.
Como os vetores são LI, todos os coeficientes devem ser nulos:
\alpha_{i}-\beta_{i}=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_{i}=\beta_{i} \quad\text{para cada }i.

Passo 3

Direção “ \Leftarrow”: suponha que toda vez que duas combinações lineares coincidirem as respectivas componentes sejam iguais. Para provar que u_{1},\dots,u_{r} são LI, considere uma combinação qualquer que dá zero:
c_{1}u_{1}+\cdots+c_{r}u_{r}=0.
Mas também podemos escrever o lado direito como
0\cdot u_{1}+\cdots+0\cdot u_{r}=0.
Pelo hipótese de unicidade, isso implica c_{i}=0 para todo i. Logo, a única combinação que anula é a trivial, mostrando que os vetores são LI.

Resposta

Mostramos ambas as implicações, logo
\alpha_{1}u_{1}+\cdots+\alpha_{r}u_{r} = \beta_{1}u_{1}+\cdots+\beta_{r}u_{r} \;\Longrightarrow\; \alpha_{i}=\beta_{i} \quad\text{se e somente se}\quad u_{1},\dots,u_{r} \text{ são linearmente independentes.}ã

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