Sejam
vetores de um espaço vetorial. Mostre que:
se e somente se os vetores
são LI.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos vetores
em um espaço vetorial. Precisamos mostrar que a condição
é equivalente a dizer que
são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear: eles são LI se a única combinação
é a trivial, ou seja,
.
Passo 2
Direção “
”: suponha que
sejam LI e que
Subtraindo os dois lados, obtemos
Como os vetores são LI, todos os coeficientes devem ser nulos:
Passo 3
Direção “
”: suponha que toda vez que duas combinações lineares coincidirem as respectivas componentes sejam iguais. Para provar que
são LI, considere uma combinação qualquer que dá zero:
Mas também podemos escrever o lado direito como
Pelo hipótese de unicidade, isso implica
para todo
. Logo, a única combinação que anula é a trivial, mostrando que os vetores são LI.
Resposta
Mostramos ambas as implicações, logo