Decida se os seguintes conjuntos de vetores é LI ou LD:
A=\{(2,3,1) ;(3,4,5) ;(6,0,9)\} ; B=\{(2,5,6,7),(3,1,0,1),(2,9,0,1)\} ; C=\{(3,2),(2,1),(0,5)\}\

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada conjunto de vetores é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Os conjuntos dados são:
A=\{(2,3,1),(3,4,5),(6,0,9)\},
B=\{(2,5,6,7),(3,1,0,1),(2,9,0,1)\},
C=\{(3,2),(2,1),(0,5)\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  1. Cada elemento de A é um vetor em \mathbb{R}^3.
  2. Cada elemento de B é um vetor em \mathbb{R}^4.
  3. Cada elemento de C é um vetor em \mathbb{R}^2.
    As perguntas são, para cada conjunto A,B,C: o conjunto é LI ou LD?

Passo 2

O que significa LI e LD e quais testes vamos usar (explicação didática):
  • Definição: um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0 implica \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Caso contrário é linearmente dependente (LD).
  • Métodos práticos:
    1. Para três vetores em \mathbb{R}^3 podemos formar a matriz M cujas colunas são esses vetores e calcular \det(M). Se \det(M)\neq 0, as colunas são LI; se \det(M)=0, são LD. Aqui \det(M) mede se as colunas formam uma base (volume não nulo).
    2. Para vetores em \mathbb{R}^n de quantidade menor ou igual a n (por exemplo três vetores em \mathbb{R}^4), montamos o sistema \alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0 e resolvemos. Se a única solução for trivial, são LI; se existir solução não trivial, são LD. Resolver é fazer eliminação linear (ou observar equações simples).
    3. Observação útil: em \mathbb{R}^2 não pode haver mais de 2 vetores LI; então qualquer conjunto com 3 vetores em \mathbb{R}^2 é automaticamente LD.
      Vou aplicar esses métodos passo a passo em cada conjunto.

Passo 3

Analisando A. Vou usar o teste do determinante (três vetores em \mathbb{R}^3).
Formo a matriz M_A cujas colunas são os vetores de A:
M_A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 6\\[4pt] 3 & 4 & 0\\[4pt] 1 & 5 & 9 \end{pmatrix}.
O determinante é calculado desenvolvendo pela primeira linha (fórmula de Laplace para 3×3):
\det(M_A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 0\\[4pt]5 & 9\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]1 & 9\end{pmatrix} +6\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]1 & 5\end{pmatrix}.
Calculo dos menores:
\det\begin{pmatrix}4 & 0\\[4pt]5 & 9\end{pmatrix}=4\cdot9-0\cdot5=36,
\det\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]1 & 9\end{pmatrix}=3\cdot9-0\cdot1=27,
\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]1 & 5\end{pmatrix}=3\cdot5-4\cdot1=15-4=11.
Substituindo:
\det(M_A)=2\cdot36-3\cdot27+6\cdot11=72-81+66.
Faço a soma:
72-81=-9,\qquad -9+66=57.
Portanto \det(M_A)=57.]

Passo 4

Interpretação do resultado de A: como \det(M_A)=57\neq 0, a matriz tem posto 3 e as colunas são linearmente independentes. Em palavras mais simples: os três vetores de A não estão no mesmo plano; eles geram todo \mathbb{R}^3 (formam uma base se quiser). Logo A é LI.

Passo 5

Analisando B\). Aqui são três vetores em \(\mathbb{R}^4\). Vou testar a independência resolvendo o sistema \[\alpha(2,5,6,7)+\beta(3,1,0,1)+\gamma(2,9,0,1)=(0,0,0,0).
Isso dá um sistema de equações escalares (cada coordenada gera uma equação):
\begin{cases} 2\alpha+3\beta+2\gamma=0,\\[4pt] 5\alpha+\beta+9\gamma=0,\\[4pt] 6\alpha+0\beta+0\gamma=0,\\[4pt] 7\alpha+\beta+\gamma=0. \end{cases}
Vou resolver de forma direta (eliminação):
  • Da terceira equação vem \;6\alpha=0\Rightarrow \alpha=0\]. - Substituo \[\alpha=0 nas outras duas equações relevantes:
\begin{cases} 3\beta+2\gamma=0,\\[4pt] \beta+9\gamma=0. \end{cases}
Chamo-as (1) e (2). Da (2) temos \beta=-9\gamma\]. Substituo na (1): \[3(-9\gamma)+2\gamma=(-27\gamma)+2\gamma=-25\gamma=0,\] logo \(\gamma=0. Então \beta=-9\gamma=0.
Assim \alpha=\beta=\gamma=0 é a única solução do sistema.]

Passo 6

Interpretação do resultado de B: como a única solução é trivial, os coeficientes \alpha,\beta,\gamma só podem ser todos zero, então os três vetores são linearmente independentes. Observação intuitiva: em \mathbb{R}^4 é possível ter até 4 vetores independentemente; três vetores independentes em \mathbb{R}^4 são perfeitamente possíveis. Portanto B é LI.

Passo 7

Analisando C\). Aqui temos três vetores em \(\mathbb{R}^2\). Uma observação importante e muito prática para a prova: - Em \(\mathbb{R}^2\) a dimensão é \(2\), então qualquer conjunto com mais de \(2\) vetores é necessariamente linearmente dependente (porque não se pode ter mais de \(2\) vetores linearmente independentes nesse espaço). Portanto, sem contas longas, \(C\) é LD. Para aprendizado prático, mostro também uma combinação explícita não trivial que dá zero (útil se pedirem uma relação de dependência): Procuro \(\alpha,\beta,\gamma\) não todos zero tais que \[\alpha(3,2)+\beta(2,1)+\gamma(0,5)=(0,0).
Isto gera o sistema
\begin{cases} 3\alpha+2\beta+0\gamma=0,\\[4pt] 2\alpha+\beta+5\gamma=0. \end{cases}
Da primeira equação \beta=-\tfrac{3}{2}\alpha\]. Substituo na segunda: \[2\alpha-\tfrac{3}{2}\alpha+5\gamma=\tfrac{1}{2}\alpha+5\gamma=0 \Rightarrow \alpha=-10\gamma.\] Tomando \(\gamma=1 obtemos \alpha=-10 e \beta=15. Verifico:
-10(3,2)+15(2,1)+1(0,5)=(-30,-20)+(30,15)+(0,5)=(0,0).
Então há relação não trivial -10(3,2)+15(2,1)+1(0,5)=0, confirmando que C é LD.]

Resposta

A LI\n
B LI\n
C LD

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