O enunciado pede para decidir se cada conjunto de vetores é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Os conjuntos dados são:
A=\{(2,3,1),(3,4,5),(6,0,9)\},
B=\{(2,5,6,7),(3,1,0,1),(2,9,0,1)\},
C=\{(3,2),(2,1),(0,5)\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Cada elemento de A é um vetor em \mathbb{R}^3.
Cada elemento de B é um vetor em \mathbb{R}^4.
Cada elemento de C é um vetor em \mathbb{R}^2.
As perguntas são, para cada conjunto A,B,C: o conjunto é LI ou LD?
Passo 2
O que significa LI e LD e quais testes vamos usar (explicação didática):
Definição: um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0 implica \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Caso contrário é linearmente dependente (LD).
Métodos práticos:
Para três vetores em \mathbb{R}^3 podemos formar a matriz M cujas colunas são esses vetores e calcular \det(M). Se \det(M)\neq 0, as colunas são LI; se \det(M)=0, são LD. Aqui \det(M) mede se as colunas formam uma base (volume não nulo).
Para vetores em \mathbb{R}^n de quantidade menor ou igual a n (por exemplo três vetores em \mathbb{R}^4), montamos o sistema \alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0 e resolvemos. Se a única solução for trivial, são LI; se existir solução não trivial, são LD. Resolver é fazer eliminação linear (ou observar equações simples).
Observação útil: em \mathbb{R}^2 não pode haver mais de 2 vetores LI; então qualquer conjunto com 3 vetores em \mathbb{R}^2 é automaticamente LD.
Vou aplicar esses métodos passo a passo em cada conjunto.
Passo 3
Analisando A. Vou usar o teste do determinante (três vetores em \mathbb{R}^3).
Formo a matriz M_A cujas colunas são os vetores de A:
Interpretação do resultado de A: como \det(M_A)=57\neq 0, a matriz tem posto 3 e as colunas são linearmente independentes. Em palavras mais simples: os três vetores de A não estão no mesmo plano; eles geram todo \mathbb{R}^3 (formam uma base se quiser). Logo A é LI.
Passo 5
Analisando B\). Aqui são três vetores em \(\mathbb{R}^4\). Vou testar a independência resolvendo o sistema
\[\alpha(2,5,6,7)+\beta(3,1,0,1)+\gamma(2,9,0,1)=(0,0,0,0).
Isso dá um sistema de equações escalares (cada coordenada gera uma equação):
Chamo-as (1) e (2). Da (2) temos \beta=-9\gamma\]. Substituo na (1):
\[3(-9\gamma)+2\gamma=(-27\gamma)+2\gamma=-25\gamma=0,\]
logo \(\gamma=0. Então \beta=-9\gamma=0.
Assim \alpha=\beta=\gamma=0 é a única solução do sistema.]
Passo 6
Interpretação do resultado de B: como a única solução é trivial, os coeficientes \alpha,\beta,\gamma só podem ser todos zero, então os três vetores são linearmente independentes. Observação intuitiva: em \mathbb{R}^4 é possível ter até 4 vetores independentemente; três vetores independentes em \mathbb{R}^4 são perfeitamente possíveis. Portanto B é LI.
Passo 7
Analisando C\). Aqui temos três vetores em \(\mathbb{R}^2\). Uma observação importante e muito prática para a prova:
- Em \(\mathbb{R}^2\) a dimensão é \(2\), então qualquer conjunto com mais de \(2\) vetores é necessariamente linearmente dependente (porque não se pode ter mais de \(2\) vetores linearmente independentes nesse espaço).
Portanto, sem contas longas, \(C\) é LD. Para aprendizado prático, mostro também uma combinação explícita não trivial que dá zero (útil se pedirem uma relação de dependência):
Procuro \(\alpha,\beta,\gamma\) não todos zero tais que
\[\alpha(3,2)+\beta(2,1)+\gamma(0,5)=(0,0).
Da primeira equação \beta=-\tfrac{3}{2}\alpha\]. Substituo na segunda:
\[2\alpha-\tfrac{3}{2}\alpha+5\gamma=\tfrac{1}{2}\alpha+5\gamma=0 \Rightarrow \alpha=-10\gamma.\]
Tomando \(\gamma=1 obtemos \alpha=-10 e \beta=15. Verifico: