O conjunto
é um subespaço vetorial de
?
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Informações dadas: o conjunto é formado por todos os pares de
que satisfazem a igualdade
.
Informações dadas: o conjunto é formado por todos os pares
Passo 2
Definição (explicada): para um subconjunto
de
ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três propriedades básicas:
-
não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor nulo ). - Fechamento por soma: se
e , então . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e , então .
Vou checar essas propriedades para
. Se qualquer uma falhar,
não é subespaço.
Passo 3
Verificando que
não é vazio: o vetor nulo
satisfaz
, logo
. Portanto a propriedade de não-vazio está ok.
Passo 4
Entendendo a forma dos pontos de
: escrevendo a igualdade em fatoração,
Dessa fatoração segue que, para
, precisamos ter
ou
. Ou seja, para cada ponto de
vale
ou
.
Passo 5
Consequência do passo anterior:
é a união de duas retas através da origem:
e portanto
Observação: cada uma dessas retas
e
é, isoladamente, um subespaço de
(pois são fechadas por soma e por escalares).
Passo 6
Teste de fechamento por soma (contrexemplo concreto): escolha um vetor de cada reta, por exemplo
e
Some-os:
Verificamos se
pertence a
verificando
:
portanto
. Assim
não é fechado por adição.
Comentário didático: a união de dois subespaços que não estão um contido no outro geralmente não é subespaço — aqui
e
apenas se cruzam em
, mas nenhum contém o outro, e a soma de vetores de retas diferentes sai da união.
Passo 7
Conclusão a partir do passo anterior: como
falha na propriedade de fechamento por soma,
não satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de
. Portanto
não é subespaço.
Resposta
Não,
não é um subespaço vetorial de
.