O conjunto \left\{(x, y) ; x^{2}=y^{2}\right\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2} ?

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}=y^{2}\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.
Informações dadas: o conjunto é formado por todos os pares (x,y) de \mathbb{R}^{2} que satisfazem a igualdade x^{2}=y^{2}.

Passo 2

Definição (explicada): para um subconjunto V de \mathbb{R}^{2} ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três propriedades básicas:
  1. V não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor nulo (0,0)).
  2. Fechamento por soma: se u\in V e v\in V, então u+v\in V.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: se u\in V e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda u\in V.
Vou checar essas propriedades para S. Se qualquer uma falhar, S não é subespaço.

Passo 3

Verificando que S não é vazio: o vetor nulo (0,0) satisfaz 0^{2}=0^{2}, logo (0,0)\in S. Portanto a propriedade de não-vazio está ok.

Passo 4

Entendendo a forma dos pontos de S: escrevendo a igualdade em fatoração,
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=0.
Dessa fatoração segue que, para x^{2}=y^{2}, precisamos ter (x-y)=0 ou (x+y)=0. Ou seja, para cada ponto de S vale x=y ou x=-y.

Passo 5

Consequência do passo anterior: S é a união de duas retas através da origem:
L_{1}=\{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\}\quad\text{e}\quad L_{2}=\{(x,-x)\mid x\in\mathbb{R}\},
e portanto
S = L_{1}\cup L_{2}.
Observação: cada uma dessas retas L_{1} e L_{2} é, isoladamente, um subespaço de \mathbb{R}^{2} (pois são fechadas por soma e por escalares).

Passo 6

Teste de fechamento por soma (contrexemplo concreto): escolha um vetor de cada reta, por exemplo
u=(1,1)\in L_{1}\subset S
e
v=(1,-1)\in L_{2}\subset S.
Some-os:
u+v=(1,1)+(1,-1)=(2,0).
Verificamos se (2,0) pertence a S verificando x^{2}=y^{2}:
2^{2}=4\quad\text{e}\quad 0^{2}=0,\quad\text{logo}\quad 4\neq 0,
portanto (2,0)\notin S. Assim S não é fechado por adição.
Comentário didático: a união de dois subespaços que não estão um contido no outro geralmente não é subespaço — aqui L_{1} e L_{2} apenas se cruzam em (0,0), mas nenhum contém o outro, e a soma de vetores de retas diferentes sai da união.

Passo 7

Conclusão a partir do passo anterior: como S falha na propriedade de fechamento por soma, S não satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}. Portanto S não é subespaço.

Resposta

Não, S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}=y^{2}\} não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

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