Verificar que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{5}.
Determinar um conjunto de geradores para W.
Verificar se o conjunto gerador é linearmente independente (LI) e encontrar \dim(W).
Informações dadas que vamos usar: um vetor genérico de W é parametrizado por (a,b,c,d,e) como mostrado acima; os parâmetros a,\ldots,e podem ser quaisquer reais.
Passo 2
Mostrar que W é subespaço vetorial: precisamos checar três coisas (modo clássico):
0\in W.
W é fechado por adição.
W é fechado por multiplicação escalar.
Tomando a=b=c=d=e=0 obtemos o vetor
(0,0,0,0,0)\in W,
logo o vetor nulo está em W.
Fechamento por adição. Tome dois vetores quaisquer de W,
portanto pertence a W com parâmetros (\lambda a,\lambda b,\lambda c,\lambda d,\lambda e). Logo \lambda u\in W.
Como as três propriedades valem, W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{5}.
Passo 3
Encontrar um conjunto de geradores. A ideia natural é variar um parâmetro por vez e colocar os outros zero.
Tomando a=1 e b=c=d=e=0 obtemos
v_1=(1,\,1,\,0,\,0,\,0).
Tomando b=1 e a=c=d=e=0 obtemos
v_2=(0,\,1,\,1,\,0,\,0).
Tomando c=1 e a=b=d=e=0 obtemos
v_3=(0,\,0,\,1,\,1,\,0).
Tomando d=1 e a=b=c=e=0 obtemos
v_4=(0,\,0,\,0,\,1,\,1).
Tomando e=1 e a=b=c=d=0 obtemos
v_5=(0,\,0,\,0,\,0,\,1).
Agora mostro que estes vetores geram W. Seja um vetor genérico de W,
w=(a,\,a+b,\,b+c,\,c+d,\,d+e).
Note que
a v_1 + b v_2 + c v_3 + d v_4 + e v_5 = (a,\;a+b,\;b+c,\;c+d,\;d+e)=w.
Portanto todo vetor de W é combinação linear de v_1,v_2,v_3,v_4,v_5. Assim
W=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\},
ou seja, \{v_1,\ldots,v_5\} é um conjunto de geradores.
Passo 4
Verificar se o conjunto gerador é linearmente independente (LI). Suponha que existam escalares \lambda_1,\ldots,\lambda_5\in\mathbb{R}\) tais que
\[\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\lambda_3 v_3+\lambda_4 v_4+\lambda_5 v_5=(0,0,0,0,0).
Escrevendo componente a componente isso dá o sistema
Da primeira equação vem \lambda_1=0\]. Substituindo na segunda obtemos \(\lambda_2=0. Pela terceira \lambda_3=0. Pela quarta \lambda_4=0. Finalmente, pela quinta \lambda_5=0. Logo todos os \lambda_i são zero, o que implica que \{v_1,\ldots,v_5\} é linearmente independente.]
Passo 5
Concluir a dimensão e interpretar o subespaço. Temos cinco vetores em \mathbb{R}^5 que geram W e que são linearmente independentes. Portanto formam uma base de W, e
\dim(W)=5.
Como \dim(\mathbb{R}^5)=5 e \dim(W)=5 com W\subseteq\mathbb{R}^5, segue que W=\mathbb{R}^5. Em palavras: todo vetor de \mathbb{R}^5 pode ser escrito na forma (a,\,a+b,\,b+c,\,c+d,\,d+e) (basta resolver recursivamente para a,b,c,d,e a partir das componentes).
Resposta
Conjunto de geradores: \{(1,1,0,0,0),\,(0,1,1,0,0),\,(0,0,1,1,0),\,(0,0,0,1,1),\,(0,0,0,0,1)\}
É LI?: \text{Sim} \dim(W)=5 (portanto W=\mathbb{R}^5).