Verifique que o conjunto
W=\{(a, a+b, b+c, c+d, d+e) ; a, \ldots, e \in \mathbb{R}\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{5}.
  • Determine um conjunto de geradores para W.
  • O conjunto encontrado é LI? Qual a dimensão de W ?

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
W=\{(a,\,a+b,\,b+c,\,c+d,\,d+e)\; ;\; a,b,c,d,e\in\mathbb{R}\}.
As perguntas são:
  1. Verificar que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{5}.
  2. Determinar um conjunto de geradores para W.
  3. Verificar se o conjunto gerador é linearmente independente (LI) e encontrar \dim(W).
Informações dadas que vamos usar: um vetor genérico de W é parametrizado por (a,b,c,d,e) como mostrado acima; os parâmetros a,\ldots,e podem ser quaisquer reais.

Passo 2

Mostrar que W é subespaço vetorial: precisamos checar três coisas (modo clássico):
  1. 0\in W.
  2. W é fechado por adição.
  3. W é fechado por multiplicação escalar.
  4. Tomando a=b=c=d=e=0 obtemos o vetor
(0,0,0,0,0)\in W,
logo o vetor nulo está em W.
  1. Fechamento por adição. Tome dois vetores quaisquer de W,
u=(a,\,a+b,\,b+c,\,c+d,\,d+e)
e
u'=(a',\,a'+b',\,b'+c',\,c'+d',\,d'+e').
Somando componente a componente:
u+u'=(a+a',\;a+a'+b+b',\;b+b'+c+c',\;c+c'+d+d',\;d+d'+e+e').
Reagrupando, isso é exatamente da forma
(a+a',\;(a+a')+(b+b'),\;(b+b')+(c+c'),\;(c+c')+(d+d'),\;(d+d')+(e+e')),
ou seja, pertence a W com parâmetros (a+a',\,b+b',\,c+c',\,d+d',\,e+e'). Logo u+u'\in W.
  1. Fechamento por multiplicação escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e u como acima. Então
\lambda u=(\lambda a,\;\lambda(a+b),\;\lambda(b+c),\;\lambda(c+d),\;\lambda(d+e)).
Isto é da forma
(\lambda a,\;(\lambda a)+(\lambda b),\;(\lambda b)+(\lambda c),\;(\lambda c)+(\lambda d),\;(\lambda d)+(\lambda e)),
portanto pertence a W com parâmetros (\lambda a,\lambda b,\lambda c,\lambda d,\lambda e). Logo \lambda u\in W.
Como as três propriedades valem, W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{5}.

Passo 3

Encontrar um conjunto de geradores. A ideia natural é variar um parâmetro por vez e colocar os outros zero.
  • Tomando a=1 e b=c=d=e=0 obtemos
v_1=(1,\,1,\,0,\,0,\,0).
  • Tomando b=1 e a=c=d=e=0 obtemos
v_2=(0,\,1,\,1,\,0,\,0).
  • Tomando c=1 e a=b=d=e=0 obtemos
v_3=(0,\,0,\,1,\,1,\,0).
  • Tomando d=1 e a=b=c=e=0 obtemos
v_4=(0,\,0,\,0,\,1,\,1).
  • Tomando e=1 e a=b=c=d=0 obtemos
v_5=(0,\,0,\,0,\,0,\,1).
Agora mostro que estes vetores geram W. Seja um vetor genérico de W,
w=(a,\,a+b,\,b+c,\,c+d,\,d+e).
Note que
a v_1 + b v_2 + c v_3 + d v_4 + e v_5 = (a,\;a+b,\;b+c,\;c+d,\;d+e)=w.
Portanto todo vetor de W é combinação linear de v_1,v_2,v_3,v_4,v_5. Assim
W=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\},
ou seja, \{v_1,\ldots,v_5\} é um conjunto de geradores.

Passo 4

Verificar se o conjunto gerador é linearmente independente (LI). Suponha que existam escalares \lambda_1,\ldots,\lambda_5\in\mathbb{R}\) tais que \[\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\lambda_3 v_3+\lambda_4 v_4+\lambda_5 v_5=(0,0,0,0,0).
Escrevendo componente a componente isso dá o sistema
\begin{cases} \lambda_1 = 0,\\[4pt] \lambda_1+\lambda_2 = 0,\\[4pt] \lambda_2+\lambda_3 = 0,\\[4pt] \lambda_3+\lambda_4 = 0,\\[4pt] \lambda_4+\lambda_5 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem \lambda_1=0\]. Substituindo na segunda obtemos \(\lambda_2=0. Pela terceira \lambda_3=0. Pela quarta \lambda_4=0. Finalmente, pela quinta \lambda_5=0. Logo todos os \lambda_i são zero, o que implica que \{v_1,\ldots,v_5\} é linearmente independente.]

Passo 5

Concluir a dimensão e interpretar o subespaço. Temos cinco vetores em \mathbb{R}^5 que geram W e que são linearmente independentes. Portanto formam uma base de W, e
\dim(W)=5.
Como \dim(\mathbb{R}^5)=5 e \dim(W)=5 com W\subseteq\mathbb{R}^5, segue que W=\mathbb{R}^5. Em palavras: todo vetor de \mathbb{R}^5 pode ser escrito na forma (a,\,a+b,\,b+c,\,c+d,\,d+e) (basta resolver recursivamente para a,b,c,d,e a partir das componentes).

Resposta

Conjunto de geradores: \{(1,1,0,0,0),\,(0,1,1,0,0),\,(0,0,1,1,0),\,(0,0,0,1,1),\,(0,0,0,0,1)\}
É LI?: \text{Sim}
\dim(W)=5 (portanto W=\mathbb{R}^5).

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