Decida se as seguintes séries convergem ou divergem:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{3}}{n^{4}-1}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{n^{3}}{n^{4}-1}
e queremos decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da comparação limite, lembrando também da convergência da série p.

Passo 2

Observamos que, para n muito grande,
\frac{n^{3}}{n^{4}-1} \sim \frac{n^{3}}{n^{4}} = \frac{1}{n}.
Isso sugere comparar nossa série com a série harmônica \sum \frac{1}{n}.

Passo 3

Seja
a_{n} = \frac{n^{3}}{n^{4}-1} \quad\text{e}\quad b_{n} = \frac{1}{n}.
Aplicando o teste da comparação limite, calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{3}}{n^{4}-1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{4}}{n^{4}-1} = 1.

Passo 4

Como esse limite é finito e estritamente positivo, e sabemos que a série \sum b_{n} = \sum \frac{1}{n}
é divergente (série harmônica), concluímos pelo teste da comparação limite que a série \sum a_{n} = \sum \frac{n^{3}}{n^{4}-1}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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