Decida se as seguintes séries convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{3 n \cdots 1}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{3n\cdots1}{2n+1}.
Aqui 3n\cdots1 significa o produto dos inteiros de 1 até 3n, isto é, (3n)!. Logo a série pode ser reescrita como
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(3n)!}{2n+1}.
O conteúdo envolve critérios de convergência de séries numéricas: condição necessária a_n\to0, teste da razão e convergência absoluta.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = (-1)^{n}\frac{(3n)!}{2n+1}.
Uma condição básica para que uma série converge é
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.
Porém
|a_n| = \frac{(3n)!}{2n+1}\longrightarrow\infty
quando n\to\infty. Logo \lim_{n\to\infty}a_n\neq0 e isso já basta para concluir que a série diverge.

Passo 3

Para reforçar com o teste da razão, calculemos
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{\frac{(3n+3)!}{2n+3}}{\frac{(3n)!}{2n+1}} = (3n+3)(3n+2)(3n+1)\,\frac{2n+1}{2n+3}.
Para n\to\infty, esse quociente cresce sem limite (fica muito maior que 1), o que indica divergência absoluta.

Resposta

A série diverge.

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