Encontre a série de Fourier da função dada.
(3) f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & -\pi \leq x<0, \\\\ 0, & 0 \leq x<\pi ;\end{array} \quad f(x+2 \pi)=f(x)\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função periódica de período 2\pi definida por
f(x)= \begin{cases} x, & -\pi \le x<0,\\\\ 0, & 0\le x<\pi, \end{cases}
ou seja, queremos escrever
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Bigr),
onde
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx,
e
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx.

Passo 2

Calculamos primeiro
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}x\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{-\pi}^{0} =\frac{1}{\pi}\Bigl(0-\tfrac{\pi^2}{2}\Bigr) =-\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Para a_n temos
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}x\cos(nx)\,dx.
Usando integração por partes com u=x, dv=\cos(nx)\,dx, v=\frac{\sin(nx)}{n}, obtemos
\int x\cos(nx)\,dx =\frac{x\sin(nx)}{n}+\frac{\cos(nx)}{n^2}+C.
Logo
\int_{-\pi}^{0}x\cos(nx)\,dx =\Bigl[\frac{x\sin(nx)}{n}+\frac{\cos(nx)}{n^2}\Bigr]_{-\pi}^{0} =\frac{1}{n^2}\bigl(1-\cos(n\pi)\bigr) =\frac{1-(-1)^n}{n^2}.
Portanto
a_n =\frac{1}{\pi}\,\frac{1-(-1)^n}{n^2}.

Passo 4

Para b_n calculamos
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}x\sin(nx)\,dx.
Com integração por partes u=x, dv=\sin(nx)\,dx, v=-\frac{\cos(nx)}{n}, resulta
\int x\sin(nx)\,dx =-\frac{x\cos(nx)}{n}+\frac{\sin(nx)}{n^2}+C
e então
\int_{-\pi}^{0}x\sin(nx)\,dx =\Bigl[-\frac{x\cos(nx)}{n}+\frac{\sin(nx)}{n^2}\Bigr]_{-\pi}^{0} =-\frac{\pi(-1)^n}{n}.
Assim
b_n =\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\Bigr) =-\frac{(-1)^n}{n} =\frac{(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 5

Reunindo os coeficientes, a série de Fourier de f é
f(x)\sim -\frac{\pi}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}\Biggl[ \frac{1-(-1)^n}{\pi n^2}\cos(nx) +\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) \Biggr].
Em particular, para n par tem a_n=0, e para n ímpar a_n=\tfrac{2}{\pi n^2}.

Resposta

\boxed{ f(x)\sim -\frac{\pi}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}\Biggl[ \frac{1-(-1)^n}{\pi n^2}\cos(nx) +\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) \Biggr] }.

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