Decida se a série converge ou diverge.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
- O termo geral é
. - Sabemos que
(seno de ) é limitado: para todo . - A série pode ser comparada com a série geométrica
, que é uma série conhecida.
A pergunta a responder é: a sérieconverge ou diverge?
Passo 2
Verificação de sinal e comportamento do denominador (isso é útil para aplicar testes de comparação):
- Como
, temos
- Para todo
temos , logo . Portanto cada termo é positivo:
Ter termos positivos permite usar testes de comparação (diretos ou por limite).
Passo 3
Lembrete didático sobre a série geométrica (como ferramenta):
- A série geométrica
converge se e só se , e nesse caso
- No nosso caso tomamos
. Como , a série converge. Especificamente,
mas o valor numérico não é essencial; o importante é que essa série é convergente.
Passo 4
Escolha do método: vou aplicar o teste da comparação por limite (limit comparison), porque é simples e direto quando um termo tem crescimento exponencial dominante.
- Defino
e . - Calculo o limite
Passo 5
Avaliação do limite e conclusão do teste por limite:
- Escrevo o denominador como factor comum:
- Como
, tem-se . Como , concluímos . - Portanto
- O limite é finito e não nulo (equal a
), então pelo teste da comparação por limite as séries e têm o mesmo comportamento (convergem ou divergem juntas). Como já vimos que converge, segue que também converge.
Passo 6
Comentário alternativo (opcional, mas útil na prova): comparação direta simples.
- Como
temos . - Para
temos . - Assim
- Como
converge, pela comparação direta a série original converge. Isso corrobora a conclusão do teste por limite.
Resposta
A série converge.