Decida se a série converge ou diverge.
(a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}-\operatorname{sen} n}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}-\operatorname{sen} n}
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral é a_{n}=\dfrac{1}{3^{n}-\operatorname{sen} n}.
  • Sabemos que \operatorname{sen} n (seno de n) é limitado: \left|\operatorname{sen} n\right|\le 1 para todo n.
  • A série pode ser comparada com a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{n}}, que é uma série conhecida.
    A pergunta a responder é: a série \sum a_n converge ou diverge?

Passo 2

Verificação de sinal e comportamento do denominador (isso é útil para aplicar testes de comparação):
  • Como \operatorname{sen} n \le 1, temos
3^{n}-\operatorname{sen} n \ge 3^{n}-1.
  • Para todo n\ge 1 temos 3^{n}\ge 3, logo 3^{n}-1>0. Portanto cada termo a_{n} é positivo:
a_{n}=\frac{1}{3^{n}-\operatorname{sen} n}>0.
Ter termos positivos permite usar testes de comparação (diretos ou por limite).

Passo 3

Lembrete didático sobre a série geométrica (como ferramenta):
  • A série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se e só se |r|<1, e nesse caso
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
  • No nosso caso tomamos b_{n}=\dfrac{1}{3^{n}}=(1/3)^{n}. Como |1/3|<1, a série \sum b_{n} converge. Especificamente,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}=\frac{1/3}{1-1/3}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2},
mas o valor numérico não é essencial; o importante é que essa série é convergente.

Passo 4

Escolha do método: vou aplicar o teste da comparação por limite (limit comparison), porque é simples e direto quando um termo tem crescimento exponencial dominante.
  • Defino a_{n}=\dfrac{1}{3^{n}-\operatorname{sen} n} e b_{n}=\dfrac{1}{3^{n}}.
  • Calculo o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{3^{n}-\operatorname{sen} n}}{\dfrac{1}{3^{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n}}{3^{n}-\operatorname{sen} n}.

Passo 5

Avaliação do limite e conclusão do teste por limite:
  • Escrevo o denominador como factor comum:
\frac{3^{n}}{3^{n}-\operatorname{sen} n} =\frac{1}{1-\dfrac{\operatorname{sen} n}{3^{n}}}.
  • Como \left|\operatorname{sen} n\right|\le 1, tem-se \left|\dfrac{\operatorname{sen} n}{3^{n}}\right|\le \dfrac{1}{3^{n}}. Como 3^{n}\to\infty, concluímos \dfrac{\operatorname{sen} n}{3^{n}}\to 0.
  • Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{1}{1-0}=1.
  • O limite é finito e não nulo (equal a 1), então pelo teste da comparação por limite as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento (convergem ou divergem juntas). Como já vimos que \sum b_{n}=\sum 1/3^{n} converge, segue que \sum a_{n} também converge.

Passo 6

Comentário alternativo (opcional, mas útil na prova): comparação direta simples.
  • Como \left|\operatorname{sen} n\right|\le 1 temos 3^{n}-\operatorname{sen} n\ge 3^{n}-1.
  • Para n\ge 1 temos 3^{n}-1=3^{n}\left(1-\dfrac{1}{3^{n}}\right)\ge 3^{n}\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{3}3^{n}.
  • Assim
a_{n}=\frac{1}{3^{n}-\operatorname{sen} n}\le \frac{1}{3^{n}-1}\le \frac{1}{\tfrac{2}{3}3^{n}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3^{n}}.
  • Como \sum \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{3^{n}}=(3/2)\sum 1/3^{n} converge, pela comparação direta a série original converge. Isso corrobora a conclusão do teste por limite.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados