Nos itens abaixo, calcular as integrais usando o método da substituição:
\int 2^{x^{2}+1} x d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
\int 2^{x^{2}+1}\,x\,dx.
Informações fornecidas: a função integranda é 2^{x^{2}+1}x, a variável de integração é x e queremos uma primitiva (ou seja, a integral indefinida, com constante de integração).

Passo 2

Observação importante (pista para substituição): dentro da potência aparece x^{2}+1. A derivada de x^{2}+1 em relação a x é 2x, que é muito parecida com o fator x que multiplica a exponencial. Isso sugere a substituição
u = x^{2}+1.
Agora calculamos o diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x temos
du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx obtemos
x\,dx = \frac{du}{2}.
Essa relação permite trocar x\,dx por termos em u.

Passo 3

Substituímos na integral original usando u e du. Temos
\int 2^{x^{2}+1}\,x\,dx = \int 2^{u}\left(\frac{du}{2}\right).
Fatorando a constante 1/2 para fora da integral:
\int 2^{x^{2}+1}\,x\,dx = \frac{1}{2}\int 2^{u}\,du.

Passo 4

Agora precisamos integrar \int 2^{u}\,du. Vou te lembrar a fórmula geral para integrar exponenciais com base a>0, a\neq1:
\int a^{u}\,du = \frac{a^{u}}{\ln a} + C.
Explicação rápida: a^{u}=e^{u\ln a} e a derivada de e^{u\ln a} é (\ln a)e^{u\ln a}=(\ln a)a^{u}, daí ao integrar divide-se por \ln a. Exemplo curto: \int 3^{u}\,du = 3^{u}/\ln 3 + C.

Passo 5

Aplicando a fórmula com a=2 na integral que ficou:
\frac{1}{2}\int 2^{u}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2^{u}}{\ln 2} + C = \frac{2^{u}}{2\ln 2} + C.

Passo 6

Voltamos à variável x substituindo u=x^{2}+1:
\frac{2^{u}}{2\ln 2} + C = \frac{2^{x^{2}+1}}{2\ln 2} + C.
Podemos simplificar essa expressão usando a propriedade 2^{x^{2}+1}=2\cdot 2^{x^{2}}. Assim,
\frac{2^{x^{2}+1}}{2\ln 2} = \frac{2\cdot 2^{x^{2}}}{2\ln 2} = \frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}.
Portanto a primitiva fica mais enxuta.

Passo 7

Resultado final e observação prática: a primitiva que encontramos é
\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}+C.
Dica para a prova: ao ver uma exponencial a^{\text{algo}} multiplicada por algo que parece ser derivada do “algo” (aqui x vs 2x), tente sempre a substituição u=\text{algo} — costuma simplificar bastante.

Resposta

\displaystyle \frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}+C

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