Determine se as sequência abaixo convergem ou divergem
(a) a_{n}=\left(\frac{e^{n^{2}}}{n^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência \left(a_{n}\right) converge ou diverge, onde foi dada a sequência
a_{n}=\left(\frac{e^{n^{2}}}{n^{2}}\right).
Informações relevantes que o enunciado deu:
\text{Para cada }n\in\mathbb{N},\quad a_{n}=\frac{e^{n^{2}}}{n^{2}}.
A pergunta é: a sequência tem limite finito quando n\to\infty ou diverge (por exemplo, para +\infty)?

Passo 2

Ideia geral (sem calcular ainda): temos um numerador muito grande e^{n^{2}} e um denominador polinomial n^{2}. Intuitivamente e^{n^{2}} cresce muito mais rápido que qualquer potência de n, então esperamos que a_{n}\to+\infty. Para tornar isso riguroso vamos transformar a expressão usando o logaritmo natural — isso facilita comparar taxas de crescimento porque transforma produtos/ potências em soma/ multiplicação por constantes.

Passo 3

Propriedade útil do logaritmo: a função \ln(x) é estritamente crescente em (0,\infty). Assim, para sequências positivas a_{n}>0, temos
a_{n}\to+\infty \iff \ln(a_{n})\to+\infty.
Aqui a_{n}>0 para todo n, então podemos estudar \ln(a_{n}) em vez de a_{n}. Calculemos:
\ln(a_{n})=\ln\!\left(\frac{e^{n^{2}}}{n^{2}}\right)=\ln\big(e^{n^{2}}\big)-\ln\big(n^{2}\big)=n^{2}-2\ln n.
Expliquei: usei \ln(\tfrac{A}{B})=\ln A-\ln B e \ln(e^{n^{2}})=n^{2}, e \ln(n^{2})=2\ln n.

Passo 4

Agora precisamos estudar o comportamento de \ln(a_{n})=n^{2}-2\ln n quando n\to\infty. Note que \ln n cresce muito mais devagar que n. Uma desigualdade simples e útil é, para n\ge 1,
\ln n \le n.
Isso é verdadeiro (por exemplo porque a reta y=n fica sempre acima de y=\ln n para n\ge1). Usando essa desigualdade:
n^{2}-2\ln n \ge n^{2}-2n = n(n-2).
Para n\ge3 temos n(n-2)>0 e claramente
\lim_{n\to\infty} n(n-2)=+\infty.
Como \ln(a_{n})\ge n(n-2) e o limite da expressão à direita é +\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}\ln(a_{n})=+\infty.

Passo 5

Pelo passo anterior, \ln(a_{n})\to+\infty. Usando a monotonicidade da função exponencial (ou a equivalência citada no Passo 3), concluímos que
a_{n}=\exp\!\big(\ln(a_{n})\big)\to+\infty.
Portanto a sequência não converge para um número finito: ela diverge, mais precisamente diverge para +\infty.

Resposta

a_{n}\to +\infty (a sequência diverge para +\infty).

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