Determine se as sequência abaixo convergem ou divergem
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge, onde foi dada a sequência
Informações relevantes que o enunciado deu:
A pergunta é: a sequência tem limite finito quando
ou diverge (por exemplo, para
)?
Passo 2
Ideia geral (sem calcular ainda): temos um numerador muito grande
e um denominador polinomial
. Intuitivamente
cresce muito mais rápido que qualquer potência de
, então esperamos que
. Para tornar isso riguroso vamos transformar a expressão usando o logaritmo natural — isso facilita comparar taxas de crescimento porque transforma produtos/ potências em soma/ multiplicação por constantes.
Passo 3
Propriedade útil do logaritmo: a função
é estritamente crescente em
. Assim, para sequências positivas
, temos
Aqui
para todo
, então podemos estudar
em vez de
. Calculemos:
Expliquei: usei
e
, e
.
Passo 4
Agora precisamos estudar o comportamento de
quando
. Note que
cresce muito mais devagar que
. Uma desigualdade simples e útil é, para
,
Isso é verdadeiro (por exemplo porque a reta
fica sempre acima de
para
). Usando essa desigualdade:
Para
temos
e claramente
Como
e o limite da expressão à direita é
, segue que
Passo 5
Pelo passo anterior,
. Usando a monotonicidade da função exponencial (ou a equivalência citada no Passo 3), concluímos que
Portanto a sequência não converge para um número finito: ela diverge, mais precisamente diverge para
.