Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado? \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{2}}{n^{3}+1}
Vamos estudar primeiro a convergência absoluta (usando comparação de séries positivas) e depois a convergência condicional pelo Critério de Leibniz (alternating series test).
que é negativa para x>\sqrt[3]{2}\approx1{,}26. Assim a_{n+1}<a_{n} a partir de n\ge2.
Pelo Critério de Leibniz, a série alternada converge.
Resposta
A série converge condicionalmente.
Critérios utilizados:
– Teste da comparação em limite para mostrar que \sum|a_{n}| diverge (logo não há convergência absoluta).
– Critério de Leibniz (alternating series test) para concluir convergência condicional.