Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{2}}{n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado envolve a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{3}+1}.
Vamos estudar primeiro a convergência absoluta (usando comparação de séries positivas) e depois a convergência condicional pelo Critério de Leibniz (alternating series test).

Passo 2

Analisando a série de termos absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{n^{2}}{n^{3}+1}\right| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+1},
comparamos com a série harmônica \sum 1/n. Note que
\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n^{2}}{n^{3}+1}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{3}+1} =1\quad(\neq 0,\infty).
Pelo Teste da Comparação em Limite, como \sum 1/n diverge, segue que \sum n^{2}/(n^{3}+1) também diverge. Logo não há convergência absoluta.

Passo 3

Para a série original alternada, definimos
a_{n} = \frac{n^{2}}{n^{3}+1}.
  1. Verificamos que \lim_{n\to\infty}a_{n}=0, pois para grandes n, n^{2}/(n^{3}+1)\sim 1/n\to0.
  2. Vemos que a_{n} é decrescente para n suficientemente grande. De fato, a função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{3}+1}
tem derivada
f'(x) =\frac{2x(x^{3}+1)-3x^{2}\cdot x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}} =\frac{2x - x^{4}}{(x^{3}+1)^{2}},
que é negativa para x>\sqrt[3]{2}\approx1{,}26. Assim a_{n+1}<a_{n} a partir de n\ge2.
Pelo Critério de Leibniz, a série alternada converge.

Resposta

A série converge condicionalmente.
Critérios utilizados:
– Teste da comparação em limite para mostrar que \sum|a_{n}| diverge (logo não há convergência absoluta).
– Critério de Leibniz (alternating series test) para concluir convergência condicional.

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