(1.0) Dada a função
f(x, y)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
mostre que f(x, y) tem descontinuidade removível em (x, y)=(0,0) e que pode ser reescrita como
\hat{f}(x)=\left\{\begin{array}{r} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
para (x,y)\neq(0,0) e pede para mostrar que, ao aproximar (x,y)\to(0,0), f(x,y) tende a um valor finito. Esse valor será o limite e, se existir, podemos remover a descontinuidade definindo f(0,0) igual a esse limite. Vamos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 2

Para estimar o valor de f(x,y), note que
|x|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}},
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\bigl|f(x,y)\bigr| =\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\frac{|x|\cdot|x|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \le\frac{|x|\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =|x|.
Como |x|\to0 sempre que (x,y)\to(0,0), segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 3

Vimos que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) existe e vale 0. Portanto, podemos “remover” a descontinuidade definindo o valor de f em (0,0) exatamente como esse limite. A função estendida fica contínua em toda parte.

Resposta

\hat{f}(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}]

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