mostre que f(x, y) tem descontinuidade removível em (x, y)=(0,0) e que pode ser reescrita como
\hat{f}(x)=\left\{\begin{array}{r} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado define
f(x,y)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
para (x,y)\neq(0,0) e pede para mostrar que, ao aproximar (x,y)\to(0,0), f(x,y) tende a um valor finito. Esse valor será o limite e, se existir, podemos remover a descontinuidade definindo f(0,0) igual a esse limite. Vamos calcular
Vimos que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) existe e vale 0. Portanto, podemos “remover” a descontinuidade definindo o valor de f em (0,0) exatamente como esse limite. A função estendida fica contínua em toda parte.