Considere a série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} em que a_{0}=3, a_{1}=-2 e a_{n+2}=a_{n} para todo n \geq 0
a) Determine o raio de convergência da série.
b) Para qual função essa série converge?

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n
com a_{0}=3, a_{1}=-2 e recorrência a_{n+2}=a_{n}.
Precisamos achar (a) o raio de convergência e (b) a função geratriz dessa série.

Passo 2

A condição a_{n+2}=a_{n} para todo n\ge0 mostra que (a_n) é periódica de período 2. Logo, para k\ge0:
a_{2k}=a_0=3, \qquad a_{2k+1}=a_1=-2.

Passo 3

Quebramos a soma em termos pares e ímpares:
\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n =\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k}x^{2k} +\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k+1}x^{2k+1} =3\sum_{k=0}^{\infty}(x^2)^k-2x\sum_{k=0}^{\infty}(x^2)^k.

Passo 4

Cada série é geométrica de razão x^2. Sabemos que
\sum_{k=0}^{\infty}(x^2)^k=\frac{1}{1-x^2} \quad\text{se, e somente se,}\quad |x^2|<1\iff |x|<1.
Portanto o raio de convergência é 1. Além disso,
3\sum_{k=0}^{\infty}(x^2)^k=\frac{3}{1-x^2}, \qquad -2x\sum_{k=0}^{\infty}(x^2)^k=-\frac{2x}{1-x^2}.

Passo 5

Somando as duas parcelas obtemos a função geratriz:
\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n =\frac{3}{1-x^2}-\frac{2x}{1-x^2} =\frac{3-2x}{1-x^2}.

Resposta

(a) O raio de convergência é 1.
(b) A série converge para
\frac{3-2x}{1-x^2},\quad |x|<1.

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