Decida se as séries abaixo convergem ou divergem indicando o critério usado:
\sum \frac{3+\cos n}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+\cos n}{n^{2}},
que é uma série numérica. O conteúdo envolvido é convergência de séries pelo critério da comparação. Vamos mostrar que ela converge absolutamente comparando seu valor absoluto com uma série p-com convergência conhecida.

Passo 2

Para todo n\ge1, usamos a desigualdade triangular e \lvert\cos n\rvert\le1 para obter
\bigl\lvert 3+\cos n\bigr\rvert \le \lvert 3\rvert + \lvert\cos n\rvert = 3 + 1 = 4.
Logo,
\left\lvert \frac{3+\cos n}{n^{2}}\right\rvert \le \frac{4}{n^{2}}.

Passo 3

Sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^{2}}
é uma série p-com com p=2>1, portanto converge. Pelo critério da comparação (ou comparação de séries positivas), como
0 \le \left\lvert \frac{3+\cos n}{n^{2}}\right\rvert \le \frac{4}{n^{2}}
e a série dominante converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+\cos n}{n^{2}}
converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta) pelo critério da comparação com \sum 4/n^{2}.

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