Decida se as séries abaixo convergem ou divergem indicando o critério usado:
\sum \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}
converge ou diverge. O conteúdo é da convergência de séries numéricas e vamos usar o critério da comparação (ou comparação-limite) com uma série-p.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral usando a racionalização da diferença de raízes:
\sqrt{n+1}-\sqrt{n} =\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.
Logo o termo geral vira
a_n = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n} =\frac{1}{n\bigl(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\bigr)}.

Passo 3

Para testar convergência, analisamos o comportamento assintótico de a_n para n\to\infty. Como \sqrt{n+1}+\sqrt{n}\sim 2\sqrt{n}, temos
a_n \sim \frac{1}{n\cdot 2\sqrt{n}} =\frac{1}{2\,n^{3/2}}.

Passo 4

Usamos o critério da comparação-limite com a série-p
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}},
que converge pois 3/2>1. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n^{3/2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}))}{1/n^{3/2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3/2}}{n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =\frac12.
Como este limite é um número finito e não nulo, a série \sum a_n converge se e somente se \sum1/n^{3/2} converge. Logo \sum a_n converge.

Resposta

A série converge pelo critério da comparação-limite com a série-p de expoente 3/2>1.

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