Decida se as séries abaixo convergem ou divergem indicando o critério usado:
\sum\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^\infty \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^n
converge ou diverge, indicando o critério usado. O conteúdo trabalhado será Séries Numéricas e, em particular, o Teste do Termo Geral para verificar divergência.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
a_n = \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^n.
Para aplicar o Teste do Termo Geral, estudamos o limite de a_n quando n\to\infty.

Passo 3

Notamos que
\frac{n}{n+1} = \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{-1},
o que implica
a_n = \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{-n}.
Como sabemos que \lim_{n\to\infty}(1+\tfrac{1}{n})^n = e, segue
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{-n} = e^{-1}.

Passo 4

O Teste do Termo Geral estabelece que, se \lim_{n\to\infty}a_n \neq 0, então a série \sum a_n diverge. Como \lim_{n\to\infty}a_n = e^{-1}\neq 0, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste do Termo Geral, pois o termo geral não tende a zero ( \lim_{n\to\infty}a_n = e^{-1}\neq 0).

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