Decida quais dos sistemas abaixo são compatíveis e, nesses casos, determine seus conjuntos soluções (indicando em que conjunto as soluções se encontram). Quando possível, escreva a forma escalonada principal associada ao sistema. Quais deles serão determinados? Em quais deles é possível se escrever uma equação como combinação linear das outras equações? \left\{\begin{array}{l}x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}-x_{4}=0 \\\\ 2 x_{1}-x_{3}+x_{4}=1 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\\\ 2 x_{2}-x_{3}-x_{4}=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um único sistema linear com quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e quatro equações. As perguntas que preciso responder são:
O sistema é compatível (tem solução) ou incompatível?
Se compatível, qual é o conjunto solução e em que conjunto ele se encontra?
Quando possível, escrever a forma escalonada principal associada ao sistema.
O sistema é determinado (tem solução única) ou indeterminado (infinitas soluções)?
É possível escrever alguma equação como combinação linear das outras equações?
Explicação rápida do método que vou usar (Gaussian elimination): aplicar operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter uma forma escalonada (pivôs à direita ao descer nas linhas). Isso permite ver compatibilidade e encontrar as incógnitas por substituição regressiva.]
Passo 3
Primeiro objetivo: zerar entradas abaixo do primeiro pivô (coluna de x_{1}), usando a primeira linha como pivô. Faço:
Agora elimino o coeficiente em x_{3} da última linha usando L_{3} como pivô:
L_{4}\leftarrow L_{4}-\tfrac{5}{13}L_{3}.
Calcule:
coef. em x_{3}: 5-\tfrac{5}{13}\cdot 13=0.
coef. em x_{4}: -5-\tfrac{5}{13}\cdot(-1)=-5+\tfrac{5}{13}=-\tfrac{60}{13}.
termo independente: -1-\tfrac{5}{13}\cdot(-7)=-1+\tfrac{35}{13}=\tfrac{22}{13}.
Assim a última linha torna-se [0,0,0,-\tfrac{60}{13}|\tfrac{22}{13}]. Multiplicando essa linha por 13 (novamente para limpar denominadores) obtém-se [0,0,0,-60|22]. Até aqui a matriz escalonada (com pivôs visíveis) é
Observação importante: a última linha tem coeficiente não nulo em x_{4}, portanto existe pivô em todas as quatro colunas de incógnitas. Isso indica que o posto da matriz dos coeficientes é 4 (máximo possível) e que o sistema é compatível com única solução (sistema determinado).]
Passo 6
Agora faço substituição regressiva para encontrar cada incógnita. A partir da última linha, escrevo a equação correspondente (antes de qualquer multiplicação por escalares reaplicada):
Verificação rápida (opcional): substituindo nas equações originais confirma que todas são satisfeitas (passei por uma verificação mental no cálculo).
Quanto à possibilidade de escrever uma equação como combinação linear das outras: como o posto da matriz de coeficientes é 4 (igual ao número de equações), as quatro equações são linearmente independentes e, portanto, nenhuma equação pode ser escrita como combinação linear das outras três.
Resposta
Sistema compatível e determinado.
Conjunto solução (em \mathbb{R}^4): \displaystyle \left\{\left(\tfrac{2}{5},\,-\tfrac{7}{15},\,-\tfrac{17}{30},\,-\tfrac{11}{30}\right)\right\}.
Forma escalonada principal (matriz aumentada equivalente obtida durante a eliminação):