Q12: Considere a base \beta do \mathbb{R}^{3} dada por:
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ -3 \\\\ -4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 2 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ 4 \\\\ 4 \end{array}\right]\right\} .
Se as coordenadas do vetor \vec{v} com relação à base \beta são dadas por [\vec{v}]_{\beta}=(2,3,-3), então a 2^{\mathrm{a}} entrada de \vec{v} é:
(A) -14
(B) -13
(C) -12
(D) -11
(E) -10
(F) -9

Passo 1

O enunciado nos dá a base \beta de \mathbb{R}^3 e as coordenadas do vetor \vec{v} em relação a essa base. Os dados fornecidos são:
\beta=\left\{\;b_1=\left[\begin{array}{r}4\\\ -3\\\ -4\end{array}\right],\; b_2=\left[\begin{array}{r}-4\\\ 2\\\ 2\end{array}\right],\; b_3=\left[\begin{array}{r}-2\\\ 4\\\ 4\end{array}\right]\;\right\}
e
[\vec{v}]_{\beta}=\left(2,3,-3\right).
A pergunta do enunciado é: qual é a segunda entrada (ou seja, a coordenada y) do vetor \vec{v} em \mathbb{R}^3?

Passo 2

Significado das coordenadas em relação à base: se [\vec{v}]_{\beta}=(c_1,c_2,c_3), então
\vec{v}=c_1 b_1 + c_2 b_2 + c_3 b_3.
Aqui c_1=\(2, c_2=\(3 e c_3=\(-3. Assim vamos calcular
\vec{v}=2\,b_1 + 3\,b_2 + (-3)\,b_3.
Isto é uma combinação linear das colunas da base: cada componente de \vec{v} será a soma das componentes correspondentes das multiplicações escalares.)

Passo 3

Calcular cada multiplicação escalar separadamente:
2\,b_1 = 2\left[\begin{array}{r}4\\\ -3\\\ -4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}2\cdot4\\\ 2\cdot(-3)\\\ 2\cdot(-4)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}8\\\ -6\\\ -8\end{array}\right],
3\,b_2 = 3\left[\begin{array}{r}-4\\\ 2\\\ 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}3\cdot(-4)\\\ 3\cdot2\\\ 3\cdot2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}-12\\\ 6\\\ 6\end{array}\right],
(-3)\,b_3 = -3\left[\begin{array}{r}-2\\\ 4\\\ 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}-3\cdot(-2)\\\ -3\cdot4\\\ -3\cdot4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}6\\\ -12\\\ -12\end{array}\right].

Passo 4

Somar componente a componente as três colunas obtidas:
Primeira componente:
8 + (-12) + 6 = 8-12+6 = 2.
Segunda componente:
-6 + 6 + (-12) = -6+6-12 = -12.
Terceira componente:
-8 + 6 + (-12) = -8+6-12 = -14.
Logo
\vec{v}=\left[\begin{array}{r}2\\\ -12\\\ -14\end{array}\right].

Passo 5

A segunda entrada de \vec{v} é o segundo componente do vetor encontrado, que vale -12. Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C) -12

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