Se as coordenadas do vetor \vec{v} com relação à base \beta são dadas por [\vec{v}]_{\beta}=(2,3,-3), então a 2^{\mathrm{a}} entrada de \vec{v} é:
(A) -14
(B) -13
(C) -12
(D) -11
(E) -10
(F) -9
Passo 1
O enunciado nos dá a base \beta de \mathbb{R}^3 e as coordenadas do vetor \vec{v} em relação a essa base. Os dados fornecidos são:
A pergunta do enunciado é: qual é a segunda entrada (ou seja, a coordenada y) do vetor \vec{v} em \mathbb{R}^3?
Passo 2
Significado das coordenadas em relação à base: se [\vec{v}]_{\beta}=(c_1,c_2,c_3), então
\vec{v}=c_1 b_1 + c_2 b_2 + c_3 b_3.
Aqui c_1=\(2, c_2=\(3 e c_3=\(-3. Assim vamos calcular
\vec{v}=2\,b_1 + 3\,b_2 + (-3)\,b_3.
Isto é uma combinação linear das colunas da base: cada componente de \vec{v} será a soma das componentes correspondentes das multiplicações escalares.)
Passo 3
Calcular cada multiplicação escalar separadamente:
A segunda entrada de \vec{v} é o segundo componente do vetor encontrado, que vale -12. Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa (C).