Decida quais dos sistemas abaixo são compatíveis e, nesses casos, determine seus conjuntos soluções (indicando em que conjunto as soluções se encontram). Quando possível, escreva a forma escalonada principal associada ao sistema. Quais deles serão determinados? Em quais deles é possível se escrever uma equação como combinação linear das outras equações?
\left\{\begin{array}{l}-x+2 y-z=3 \\\\ -9 x-8 y+z=-11 \\\\ 7 x-y+2 z=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três equações e três incógnitas e pede:
  • Decidir se o sistema é compatível ou incompatível.
  • Se for compatível, determinar o conjunto solução e indicar em que conjunto as soluções estão.
  • Quando possível, escrever a forma escalonada principal associada ao sistema.
  • Dizer quais sistemas (neste caso: a única instância dada) serão determinados (ou seja, têm solução única).
  • Indicar se alguma equação pode ser escrita como combinação linear das outras e, em caso afirmativo, qual.
As equações fornecidas são:
\begin{cases} - x + 2y - z = 3,\\[4pt] -9x -8y + z = -11,\\[4pt] 7x - y + 2z = -2. \end{cases}]

Passo 2

Primeiro uma breve aula rápida e bem prática sobre o método que vou usar (não se assuste, é só o básico que cai em prova):
  • Para resolver um sistema linear com várias equações usamos eliminação (método de Gauss): escrever a matriz aumentada, fazer operações elementares (trocar linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, somar múltiplos de uma linha em outra) para chegar a uma forma escalonada onde fica fácil ler as equações que restam.
  • Conceitos-chave:
    • Pivot: primeiro coeficiente não nulo de uma linha escalonada (serve para eliminar abaixo).
    • Posto (rank): número de linhas não nulas na forma escalonada; dá a quantidade de equações independentes.
    • Se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada e igual ao número de incógnitas, há solução única (sistema determinado).
    • Se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da aumentada, mas menor que o número de incógnitas, há infinitas soluções (sistema compatível indeterminado).
    • Se o posto da aumentada for maior que o posto da matriz dos coeficientes, o sistema é incompatível (sem solução).
Agora aplico tudo isso ao sistema dado, passo a passo.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação):
\left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & -1 & 3\\[4pt] -9 & -8 & 1 & -11\\[4pt] 7 & -1 & 2 & -2 \end{array}\right).
Para facilitar, multiplico a primeira linha por -1 (operação permitida) para obter um pivot 1 na primeira coluna:
R_1 \leftarrow -1\cdot R_1 \quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & -3\\[4pt] -9 & -8 & 1 & -11\\[4pt] 7 & -1 & 2 & -2 \end{array}\right).
Elimino a incógnita x das linhas 2 e 3 usando R_1:
  • Para zerar em R_2: R_2 \leftarrow R_2 + 9R_1.
    Calculo:
R_2 = (-9, -8, 1 \mid -11) + 9(1, -2, 1 \mid -3) = (0, -26, 10 \mid -38).
  • Para zerar em R_3: R_3 \leftarrow R_3 - 7R_1.
    Calculo:
R_3 = (7, -1, 2 \mid -2) -7(1, -2, 1 \mid -3) = (0, 13, -5 \mid 19).
A matriz passa a ser
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & -3\\[4pt] 0 & -26 & 10 & -38\\[4pt] 0 & 13 & -5 & 19 \end{array}\right).]

Passo 4

Observo que a segunda linha é múltipla da terceira: de fato
(0,-26,10,-38)= -2\cdot(0,13,-5,19).
Isso mostra dependência entre as linhas 2 e 3 (após eliminar x). Posso usar a linha (0,13,-5\mid19) como a segunda linha não nula e tornar a terceira linha nula. Faço:
R_2 \leftarrow R_3,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_3 = (0,0,0\mid 0).
Assim obtenho a forma escalonada
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & -3\\[4pt] 0 & 13 & -5 & 19\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
Esta é a forma escalonada principal associada ao sistema (linha de zeros no fim).]

Passo 5

Agora resolvo por substituição (back substitution). Das equações correspondentes à forma escalonada:
  • Da segunda linha:
13y - 5z = 19.
Isolo y:
y = \frac{19 + 5z}{13}.
  • Da primeira linha:
x - 2y + z = -3.
Substituo y:
x = -3 + 2y - z = -3 + 2\left(\frac{19 + 5z}{13}\right) - z.
Faço as contas com calma:
-3 = -\frac{39}{13},\qquad 2\cdot\frac{19}{13}=\frac{38}{13},\qquad 2\cdot\frac{5z}{13}=\frac{10z}{13}.
Portanto
x = -\frac{39}{13} + \frac{38}{13} + \frac{10z}{13} - z = -\frac{1}{13} + \left(\frac{10}{13}-1\right)z = -\frac{1}{13} - \frac{3}{13}z.
Como a terceira linha é 0=0, não impõe nenhuma restrição adicional. Logo z é variável livre. Ponho z=t\in\mathbb{R}. Assim:
\begin{cases} z = t,\\[4pt] y = \dfrac{19 + 5t}{13},\\[6pt] x = -\dfrac{1 + 3t}{13}. \end{cases}
Posso escrever o conjunto solução em forma paramétrica vetorial:
\left\{ \left(\,-\dfrac{1}{13},\;\dfrac{19}{13},\;0\,\right) + t\left(\,-\dfrac{3}{13},\;\dfrac{5}{13},\;1\,\right) \mid t\in\mathbb{R}\right\}.]

Passo 6

Interpretações finais e respostas às perguntas sobre posto e determinação:
  • O posto da matriz dos coeficientes (número de linhas independentes) é 2 (duas linhas não nulas na forma escalonada).
  • O posto da matriz aumentada também é 2 (não apareceu nenhuma linha do tipo 0\;0\;0\mid c com c\neq0).
  • Como o posto é menor que o número de incógnitas ( 2<3), o sistema é compatível indeterminado: tem infinitas soluções (parâmetro livre t\in\mathbb{R}).
  • Portanto o sistema NÃO é determinado (não há solução única).

Passo 7

Quanto à possibilidade de escrever uma equação como combinação linear das outras: vou verificar se uma das equações originais é combinação linear das outras. Procuro \alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que \[\text{(Eq2)} = \alpha\cdot\text{(Eq1)} + \beta\cdot\text{(Eq3)}.
Comparando coeficientes das variáveis e termo independente:
\begin{cases} -9 = -\alpha + 7\beta,\\[4pt] -8 = 2\alpha - \beta,\\[4pt] 1 = -\alpha + 2\beta,\\[4pt] -11 = 3\alpha -2\beta. \end{cases}
Resolvendo as duas primeiras equações para \alpha,\beta\]: Da primeira \(\alpha = 7\beta + 9. Substituindo na segunda:
-8 = 2(7\beta+9) - \beta = 13\beta + 18 \Rightarrow 13\beta = -26 \Rightarrow \beta=-2.
Então \alpha = 7(-2) + 9 = -5. Verifico nas outras igualdades:
-\alpha + 2\beta = -(-5) + 2(-2) = 5 -4 =1 \quad\checkmark,
3\alpha -2\beta = 3(-5) -2(-2) = -15 +4 = -11 \quad\checkmark.
Então realmente
\text{(Eq2)} = -5\cdot\text{(Eq1)} - 2\cdot\text{(Eq3)}.
Conclusão: a segunda equação é combinação linear das demais; as três equações não são todas independentes.]

Resposta

O sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).\n
Conjunto solução (em \mathbb{R}^3):
\left\{ \left(x,y,z\right) = \left(-\dfrac{1+3t}{13},\;\dfrac{19+5t}{13},\;t\right) \mid t\in\mathbb{R}\right\}.
Forma escalonada principal (matriz aumentada):
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & -3\\[4pt] 0 & 13 & -5 & 19\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
O sistema não é determinado (posto =2<3).\n
Sim — é possível escrever uma equação como combinação linear das outras: a segunda equação é \,-5\cdot(\text{Eq1})-2\cdot(\text{Eq3}).]

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