Decida quais dos sistemas abaixo são compatíveis e, nesses casos, determine seus conjuntos soluções (indicando em que conjunto as soluções se encontram). Quando possível, escreva a forma escalonada principal associada ao sistema. Quais deles serão determinados? Em quais deles é possível se escrever uma equação como combinação linear das outras equações? \left\{\begin{array}{l}-x+2 y-z=3 \\\\ -9 x-8 y+z=-11 \\\\ 7 x-y+2 z=-2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com três equações e três incógnitas e pede:
Decidir se o sistema é compatível ou incompatível.
Se for compatível, determinar o conjunto solução e indicar em que conjunto as soluções estão.
Quando possível, escrever a forma escalonada principal associada ao sistema.
Dizer quais sistemas (neste caso: a única instância dada) serão determinados (ou seja, têm solução única).
Indicar se alguma equação pode ser escrita como combinação linear das outras e, em caso afirmativo, qual.
As equações fornecidas são:
\begin{cases} - x + 2y - z = 3,\\[4pt] -9x -8y + z = -11,\\[4pt] 7x - y + 2z = -2. \end{cases}]
Passo 2
Primeiro uma breve aula rápida e bem prática sobre o método que vou usar (não se assuste, é só o básico que cai em prova):
Para resolver um sistema linear com várias equações usamos eliminação (método de Gauss): escrever a matriz aumentada, fazer operações elementares (trocar linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, somar múltiplos de uma linha em outra) para chegar a uma forma escalonada onde fica fácil ler as equações que restam.
Conceitos-chave:
Pivot: primeiro coeficiente não nulo de uma linha escalonada (serve para eliminar abaixo).
Posto (rank): número de linhas não nulas na forma escalonada; dá a quantidade de equações independentes.
Se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada e igual ao número de incógnitas, há solução única (sistema determinado).
Se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da aumentada, mas menor que o número de incógnitas, há infinitas soluções (sistema compatível indeterminado).
Se o posto da aumentada for maior que o posto da matriz dos coeficientes, o sistema é incompatível (sem solução).
Agora aplico tudo isso ao sistema dado, passo a passo.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação):
Observo que a segunda linha é múltipla da terceira: de fato
(0,-26,10,-38)= -2\cdot(0,13,-5,19).
Isso mostra dependência entre as linhas 2 e 3 (após eliminar x). Posso usar a linha (0,13,-5\mid19) como a segunda linha não nula e tornar a terceira linha nula. Faço:
Interpretações finais e respostas às perguntas sobre posto e determinação:
O posto da matriz dos coeficientes (número de linhas independentes) é 2 (duas linhas não nulas na forma escalonada).
O posto da matriz aumentada também é 2 (não apareceu nenhuma linha do tipo 0\;0\;0\mid c com c\neq0).
Como o posto é menor que o número de incógnitas (2<3), o sistema é compatível indeterminado: tem infinitas soluções (parâmetro livre t\in\mathbb{R}).
Portanto o sistema NÃO é determinado (não há solução única).
Passo 7
Quanto à possibilidade de escrever uma equação como combinação linear das outras: vou verificar se uma das equações originais é combinação linear das outras. Procuro \alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que
\[\text{(Eq2)} = \alpha\cdot\text{(Eq1)} + \beta\cdot\text{(Eq3)}.
Comparando coeficientes das variáveis e termo independente:
O sistema não é determinado (posto =2<3).\n
Sim — é possível escrever uma equação como combinação linear das outras: a segunda equação é \,-5\cdot(\text{Eq1})-2\cdot(\text{Eq3}).]