Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá que
e pede para decidir se a igualdade
é sempre verdadeira ou falsa.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Há três vetores
relacionados por . - A questão pergunta se a norma (módulo) do vetor soma é sempre igual à soma dos módulos.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que é norma (comprimento) e o produto interno:
- A norma de um vetor
é . - O produto interno (dot product) satisfaz
, onde é o ângulo entre e . Desta fórmula segue que (essa é a desigualdade de Cauchy–Schwarz; o produto atinge o valor extremo quando os vetores são colineares).
Passo 3
Vamos calcular o quadrado da norma de
(isso facilita as contas):
Usando
obtemos
Tomando raiz positiva em ambos os lados chega-se à desigualdade triangular
Portanto a igualdade proposta nem sempre vale; ela é apenas uma possibilidade superior. Além disso, a igualdade
ocorre exatamente quando
, isto é, quando
, isto é, quando
e
são colineares e apontam para o mesmo sentido (um é múltiplo positivo do outro).
Passo 4
Mostro um contraexemplo simples (para ver na prática que a afirmação é falsa): tome
e
. Então
logo
Assim a igualdade não se verifica em geral. Para contrastar, se
e
então
e
caso em que a igualdade ocorre porque os vetores têm o mesmo sentido.
Passo 5
Resumo em linguagem direta e amiga: a afirmativa é falsa no caso geral. Vale a desigualdade
(triangular) e só há igualdade quando
e
são colineares e apontam no mesmo sentido. Força aí nos estudos — essa desigualdade aparece muito em prova e é supimpa de usar quando precisar estimar comprimentos!
Resposta
Falsa.