Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
Se \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}, então |\vec{w}|=|\vec{u}|+|\vec{v}|.

Passo 1

O enunciado dá que \vec{w}=\vec{u}+\vec{v} e pede para decidir se a igualdade
|\vec{w}|=|\vec{u}|+|\vec{v}|
é sempre verdadeira ou falsa.
Informações dadas:
  • Há três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} relacionados por \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}.
  • A questão pergunta se a norma (módulo) do vetor soma é sempre igual à soma dos módulos.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que é norma (comprimento) e o produto interno:
  • A norma de um vetor \vec{u} é |\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}.
  • O produto interno (dot product) satisfaz \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Desta fórmula segue que |\vec{u}\cdot\vec{v}|\le|\vec{u}|\,|\vec{v}| (essa é a desigualdade de Cauchy–Schwarz; o produto atinge o valor extremo quando os vetores são colineares).

Passo 3

Vamos calcular o quadrado da norma de \vec{u}+\vec{v} (isso facilita as contas):
|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) =|\vec{u}|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^{2}.
Usando \vec{u}\cdot\vec{v}\le|\vec{u}|\,|\vec{v}| obtemos
|\vec{u}+\vec{v}|^{2}\le|\vec{u}|^{2}+2|\vec{u}|\,|\vec{v}|+|\vec{v}|^{2}=(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^{2}.
Tomando raiz positiva em ambos os lados chega-se à desigualdade triangular
|\vec{u}+\vec{v}|\le|\vec{u}|+|\vec{v}|.
Portanto a igualdade proposta nem sempre vale; ela é apenas uma possibilidade superior. Além disso, a igualdade
|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{u}|+|\vec{v}|
ocorre exatamente quando \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|, isto é, quando \cos\theta=1, isto é, quando \vec{u} e \vec{v} são colineares e apontam para o mesmo sentido (um é múltiplo positivo do outro).

Passo 4

Mostro um contraexemplo simples (para ver na prática que a afirmação é falsa): tome \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(0,1). Então
|\vec{u}|=1,\qquad |\vec{v}|=1,\qquad \vec{u}+\vec{v}=(1,1),
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|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\neq 2=|\vec{u}|+|\vec{v}|.
Assim a igualdade não se verifica em geral. Para contrastar, se \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(2,0) então \vec{u}+\vec{v}=(3,0) e
|\vec{u}+\vec{v}|=3=1+2=|\vec{u}|+|\vec{v}|,
caso em que a igualdade ocorre porque os vetores têm o mesmo sentido.

Passo 5

Resumo em linguagem direta e amiga: a afirmativa é falsa no caso geral. Vale a desigualdade |\vec{u}+\vec{v}|\le|\vec{u}|+|\vec{v}| (triangular) e só há igualdade quando \vec{u} e \vec{v} são colineares e apontam no mesmo sentido. Força aí nos estudos — essa desigualdade aparece muito em prova e é supimpa de usar quando precisar estimar comprimentos!

Resposta

Falsa.

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