Sejam
e
um subgrupo de
. Construa a tábua do grupo-quociente
, identifique o elemento neutro e determine o inverso (aditivo) do elemento
.
Temos que
, etc. Logo,
e sua tábua de adição é:
+
O elemento neutro de
é o
e o inverso de
é o elemento que somando com ele dá igual a
; logo, o inverso de
é o
.
| + |
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|
|
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Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Construir a tábua de adição do grupo quociente
. - Identificar o elemento neutro de
. - Determinar o inverso aditivo do elemento
.
Informações fornecidas:
-
. -
(subgrupo de ). - Alguns cosets já dados:
, , , e observa-se que , , etc. - Portanto
.
Passo 2
Regra de soma de cosets (fórmula que vamos usar). Para quaisquer elementos
vale
Explicação didática curta: somamos representantes (em
) e depois tomamos o coset resultante. Em grupos abelianos como
essa operação está bem definida (não depende da escolha dos representantes) porque
é subgrupo.
Passo 3
Calcular as somas envolvendo o coset neutro
:
-
. -
. -
.
Isso mostra que
atua como elemento neutro esperado.
Passo 4
Calcular as somas entre
e
:
-
. -
. Como , tem-se . -
. Observando que , concluímos .
Pela comutatividade da soma em
as demais entradas (por exemplo
) seguem pelas entradas já calculadas.
Passo 5
Montagem da tábua de adição de
a partir dos cálculos anteriores. Os rótulos de linhas/colunas são
e as entradas são os cosets resultantes conforme a regra de soma de cosets.
Passo 6
Identificar o elemento neutro: pela Passo 3 e pela tábua vemos que
satisfaz
para todo
. Logo o elemento neutro é
Passo 7
Determinar o inverso aditivo de
. Em geral o inverso de
é
. Aplicando ao caso:
- O inverso de
é . - Observando a lista de cosets,
. Portanto . - Verificação rápida:
.
Logo o inverso aditivo de
é
.
Resposta
Elemento neutro:
Inverso de :
Inverso de