Sejam G=\left(\mathbb{Z}_{9},+\right) e H=\{\overline{0}, \overline{3}, \overline{6}\} um subgrupo de G. Construa a tábua do grupo-quociente (G / H,+), identifique o elemento neutro e determine o inverso (aditivo) do elemento \overline{1}+H.
Temos que \overline{0}+H=H, \overline{1}+H=\{\overline{1}, \overline{4}, \overline{7}\}, \overline{2}+H=\{\overline{2}, \overline{5}, \overline{8}\}, \overline{3}+H=\{\overline{3}, \overline{6}, \overline{0}\}=H, \overline{4}+H=\overline{1}+H, etc. Logo, G / H=\{H, \overline{1}+H, \overline{2}+H\} e sua tábua de adição é:
+ H \overline{1}+H \overline{2}+H
H H \overline{1}+H \overline{2}+H
\overline{1}+H \overline{1}+H \overline{2}+H H
\overline{2}+H \overline{2}+H H \overline{1}+H
O elemento neutro de G / H é o \overline{0}+H=H e o inverso de \overline{1}+H é o elemento que somando com ele dá igual a H; logo, o inverso de \overline{1}+H é o \overline{2}+H.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Construir a tábua de adição do grupo quociente (G/H,+).
  • Identificar o elemento neutro de (G/H,+).
  • Determinar o inverso aditivo do elemento \overline{1}+H.
Informações fornecidas:
  • G=(\mathbb{Z}_{9},+).
  • H=\{\overline{0},\overline{3},\overline{6}\} (subgrupo de G).
  • Alguns cosets já dados: \overline{0}+H=H, \overline{1}+H=\{\overline{1},\overline{4},\overline{7}\}, \overline{2}+H=\{\overline{2},\overline{5},\overline{8}\}, e observa-se que \overline{3}+H=H, \overline{4}+H=\overline{1}+H, etc.
  • Portanto G/H=\{H,\\ \overline{1}+H,\\ \overline{2}+H\}.

Passo 2

Regra de soma de cosets (fórmula que vamos usar). Para quaisquer elementos \overline{a},\overline{b}\in\mathbb{Z}_{9} vale
(\overline{a}+H)+(\overline{b}+H)=(\overline{a}+\overline{b})+H.
Explicação didática curta: somamos representantes (em \mathbb{Z}_9) e depois tomamos o coset resultante. Em grupos abelianos como (\mathbb{Z}_9,+) essa operação está bem definida (não depende da escolha dos representantes) porque H é subgrupo.

Passo 3

Calcular as somas envolvendo o coset neutro H=\overline{0}+H:
  • (\overline{0}+H)+(\overline{0}+H)=(\overline{0}+\overline{0})+H=\overline{0}+H=H.
  • (\overline{0}+H)+(\overline{1}+H)=(\overline{0}+\overline{1})+H=\overline{1}+H.
  • (\overline{0}+H)+(\overline{2}+H)=(\overline{0}+\overline{2})+H=\overline{2}+H.
Isso mostra que H atua como elemento neutro esperado.

Passo 4

Calcular as somas entre \overline{1}+H e \overline{2}+H:
  • (\overline{1}+H)+(\overline{1}+H)=(\overline{1}+\overline{1})+H=\overline{2}+H.
  • (\overline{1}+H)+(\overline{2}+H)=(\overline{1}+\overline{2})+H=\overline{3}+H. Como \overline{3}\in H, tem-se \overline{3}+H=H.
  • (\overline{2}+H)+(\overline{2}+H)=(\overline{2}+\overline{2})+H=\overline{4}+H. Observando que \overline{4}+H=\overline{1}+H, concluímos (\overline{2}+H)+(\overline{2}+H)=\overline{1}+H.
Pela comutatividade da soma em \mathbb{Z}_9 as demais entradas (por exemplo (\overline{2}+H)+(\overline{1}+H)) seguem pelas entradas já calculadas.

Passo 5

Montagem da tábua de adição de (G/H,+) a partir dos cálculos anteriores. Os rótulos de linhas/colunas são H,\\ \overline{1}+H,\\ \overline{2}+H e as entradas são os cosets resultantes conforme a regra de soma de cosets.
\begin{array}{c|ccc} + & H & \overline{1}+H & \overline{2}+H \\\ \hline H & H & \overline{1}+H & \overline{2}+H \\\ \overline{1}+H & \overline{1}+H & \overline{2}+H & H \\\ \overline{2}+H & \overline{2}+H & H & \overline{1}+H \end{array}

Passo 6

Identificar o elemento neutro: pela Passo 3 e pela tábua vemos que H satisfaz H+X=X para todo X\in G/H. Logo o elemento neutro é
\text{elemento neutro} = H=\overline{0}+H.

Passo 7

Determinar o inverso aditivo de \overline{1}+H. Em geral o inverso de \overline{a}+H é (-\overline{a})+H. Aplicando ao caso:
  • O inverso de \overline{1}+H é (-\overline{1})+H=\overline{8}+H.
  • Observando a lista de cosets, \overline{8}\in\{\overline{2},\overline{5},\overline{8}\}=\overline{2}+H. Portanto \overline{8}+H=\overline{2}+H.
  • Verificação rápida: (\overline{1}+H)+(\overline{2}+H)=(\overline{1}+\overline{2})+H=\overline{3}+H=H.
Logo o inverso aditivo de \overline{1}+H é \overline{2}+H.

Resposta

\begin{array}{c|ccc} + & H & \overline{1}+H & \overline{2}+H \\\ \hline H & H & \overline{1}+H & \overline{2}+H \\\ \overline{1}+H & \overline{1}+H & \overline{2}+H & H \\\ \overline{2}+H & \overline{2}+H & H & \overline{1}+H \end{array}
Elemento neutro: H=\overline{0}+H
Inverso de \overline{1}+H: \overline{2}+H

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