Sejam G=\left\{2^{m} 3^{n} \mid m, n \in \mathbb{Z}\right\} e J=\left\{\left.\left[\begin{array}{cc}m & n \\\\ -n & m\end{array}\right] \right\rvert\, m, n \in \mathbb{Z}\right\}.
a) Mostre que ( G, \cdot ) é um subgrupo de ( \mathbb{R}_{+}^{*}, \cdot );
b) Mostre que ( J,+ ) é subgrupo de ( M_{2 \times 2}(\mathbb{R}),+ );
c) Mostre que G é isomorfo a J.

Passo 1

O enunciado nos dá duas coleções e pede três coisas:
  • G=\left\{2^{m}3^{n}\mid m,n\in\mathbb{Z}\right\}, considerada como subconjunto de \mathbb{R}_{+}^{*} (os reais positivos) com a operação multiplicação.
  • J=\left\{\left.\begin{pmatrix}m & n \\[4pt] -n & m\end{pmatrix}\right\vert\, m,n\in\mathbb{Z}\right\}, considerada como subconjunto de M_{2\times2}(\mathbb{R}) com a operação adição de matrizes.
O que o problema pede:
(a) Mostrar que (G,\cdot) é subgrupo de (\mathbb{R}_{+}^{*},\cdot).
(b) Mostrar que (J,+) é subgrupo de (M_{2\times2}(\mathbb{R}),+).
(c) Mostrar que G é isomorfo a J.
Informações relevantes dadas:
  • Em G os elementos têm a forma 2^{m}3^{n} com m,n\in\mathbb{Z}.
  • Em J os elementos são matrizes \begin{pmatrix}m & n \\[2pt] -n & m\end{pmatrix} com m,n\in\mathbb{Z}.]

Passo 2

Lembrete rápido (definições e ferramentas que vou usar).
  • Subgrupo de um grupo: um subconjunto não vazio H de um grupo K é subgrupo se é fechado na operação de K, contém o elemento identidade de K e contém inversos (ou equivalentemente: não vazio e fechado por produto e inverso). Vou usar a versão direta: provar não vazio, fechamento e existência de inversos (ou mostrar identidade e fechamento e inversos).
  • Para (\mathbb{R}_{+}^{*},\cdot): identidade é 1, inverso de x é x^{-1}.
  • Para (M_{2\times2}(\mathbb{R}),+): identidade é a matriz zero 0_{2}, inverso de A é -A.
  • Para isomorfismo entre grupos de operações diferentes (multiplicativo e aditivo) preciso de uma bijeção f:G\to J tal que, para todos x,y\in G,
f(x\cdot y)=f(x)+f(y).
Irei construir uma função natural que transforma o expoente em entradas da matriz.

Passo 3

Prova de (a): (G,\cdot) é subgrupo de (\mathbb{R}_{+}^{*},\cdot).
  1. Não vazio e identidade. Note que 1=2^{0}3^{0}, com 0,0\in\mathbb{Z}, logo 1\in G. Assim G não é vazio e contém a identidade multiplicativa.
  2. Fechamento. Tome a,b\in G. Então existem m,n,p,q\in\mathbb{Z} tais que
a=2^{m}3^{n},\qquad b=2^{p}3^{q}.
Então o produto é
a\cdot b=2^{m}3^{n}\cdot 2^{p}3^{q}=2^{m+p}3^{n+q}.
Como m+p e n+q são inteiros, segue que a\cdot b\in G. Portanto G é fechado sob multiplicação.
  1. Existência de inversos. Para a=2^{m}3^{n}\in G temos
a^{-1}=(2^{m}3^{n})^{-1}=2^{-m}3^{-n},
e -m,-n\in\mathbb{Z}, logo a^{-1}\in G.
Conclusão do Passo 3: G contém identidade, é fechado e contém inversos, portanto (G,\cdot) é subgrupo de (\mathbb{R}_{+}^{*},\cdot).

Passo 4

Prova de (b): (J,+) é subgrupo de (M_{2\times2}(\mathbb{R}),+).
  1. Não vazio e identidade. Para m=n=0 a matriz
\begin{pmatrix}0 & 0 \\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix}
está em J. Essa é a matriz zero, a identidade aditiva, logo J não é vazio e contém a identidade.
  1. Fechamento sob adição. Tome
A=\begin{pmatrix}m & n \\[2pt] -n & m\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}p & q \\[2pt] -q & p\end{pmatrix}
com m,n,p,q\in\mathbb{Z}. A soma é
A+B=\begin{pmatrix}m+p & n+q \\[2pt] -(n+q) & m+p\end{pmatrix}.
Como m+p e n+q são inteiros, A+B\in J. Logo J é fechado sob adição.
  1. Existência de opostos. Para A=\begin{pmatrix}m & n \\[2pt] -n & m\end{pmatrix}\in J,
-A=\begin{pmatrix}-m & -n \\[2pt] n & -m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-m & -n \\[2pt] -(-n) & -m\end{pmatrix},
e -m,-n\in\mathbb{Z}, portanto -A\in J. Assim cada elemento tem seu inverso aditivo em J.
Conclusão do Passo 4: (J,+) é subgrupo de (M_{2\times2}(\mathbb{R}),+).]

Passo 5

Preparação para (c): estratégia para mostrar isomorfismo G\cong J.
Vou definir uma aplicação natural f\colon G\to J que transforma o par de expoentes (m,n) do elemento 2^{m}3^{n} na matriz \begin{pmatrix}m & n \\[2pt] -n & m\end{pmatrix}. Em símbolos:
\text{para }x=2^{m}3^{n}\in G,\quad f(x)=\begin{pmatrix}m & n \\[2pt] -n & m\end{pmatrix}.
Tenho que verificar:
  • f está bem definida (cada elemento de G tem uma única forma 2^{m}3^{n} com m,n\in\mathbb{Z});
  • f é homomorfismo: f(xy)=f(x)+f(y);
  • f é bijetiva (injetiva e sobrejetiva).
Vou tratar cada item com calma.]

Passo 6

Verificação de que cada elemento de G tem representação única 2^{m}3^{n} com m,n\in\mathbb{Z} (bem-definido / injetividade básica).
Suponha que
2^{m}3^{n}=2^{m'}3^{n'}
com m,n,m',n'\in\mathbb{Z}. Rearranjando,
2^{m-m'}=3^{\,n'-n}.
O lado esquerdo é uma potência inteira de 2, portanto sua fatoração prima contém apenas o primo 2. O lado direito é potência inteira de 3, cuja fatoração prima contém apenas o primo 3. Pela unicidade da fatoração prima, a única possibilidade para igualdade de um inteiro positivo cujo único primo é 2 com outro cujo único primo é 3 é que ambos sejam 1. Portanto
2^{m-m'}=1=3^{\,n'-n},
o que implica m-m'=0 e n'-n=0, isto é m=m' e n=n'. Assim a representação de um elemento de G por expoentes inteiros (m,n) é única. Isso garante que a definição de f é bem definida e que a etapa de injetividade será fácil de mostrar.

Passo 7

Prova de que f é homomorfismo: preserva a operação (produto em G vira soma em J).
Tome x=2^{m}3^{n} e y=2^{p}3^{q} em G. Então
x\cdot y=2^{m+p}3^{n+q}.
Pela definição de f,
f(x\cdot y)=\begin{pmatrix}m+p & n+q \\[2pt] -(n+q) & m+p\end{pmatrix}.
Por outro lado,
f(x)=\begin{pmatrix}m & n \\[2pt] -n & m\end{pmatrix},\qquad f(y)=\begin{pmatrix}p & q \\[2pt] -q & p\end{pmatrix},
e somando as matrizes obtemos
f(x)+f(y)=\begin{pmatrix}m+p & n+q \\[2pt] -(n+q) & m+p\end{pmatrix}.
Portanto, para todo x,y\in G,
f(x\cdot y)=f(x)+f(y).
Isto mostra que f é homomorfismo entre os grupos (G,\cdot) e (J,+).]

Passo 8

Prova de bijetividade de f.
Injetividade. Se f(2^{m}3^{n})=f(2^{m'}3^{n'}) então
\begin{pmatrix}m & n \\[2pt] -n & m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m' & n' \\[2pt] -n' & m'\end{pmatrix},
logo m=m' e n=n'. Pela unicidade da representação de elementos de G (Passo 6) isso significa 2^{m}3^{n}=2^{m'}3^{n'} só se (m,n)=(m',n'). Assim f é injetiva.
Sobrejetividade. Seja A\in J. Então A tem a forma
A=\begin{pmatrix}a & b \\[2pt] -b & a\end{pmatrix}
com a,b\in\mathbb{Z}. Considere x=2^{a}3^{b}\in G. Pela definição de f tem-se f(x)=A. Portanto todo elemento de J é imagem de algum elemento de G, ou seja, f é sobrejetiva.
Como f é injetiva e sobrejetiva, f é bijetiva.]

Passo 9

Conclusão do isomorfismo (c).
Juntando os resultados: f é uma bijeção f:G\to J que satisfaz
f(x\cdot y)=f(x)+f(y)\quad\text{para todos }x,y\in G.
Isto é exatamente a definição de isomorfismo entre o grupo multiplicativo (G,\cdot) e o grupo aditivo (J,+). Portanto G é isomorfo a J.
Comentário amigo e motivador: a ideia prática é que os expoentes inteiros formam o “esqueleto” do grupo (como \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}) e tanto G quanto J codificam esses pares (m,n) de maneiras diferentes: G os transforma em potências 2^{m}3^{n} (multiplicação soma expoentes) e J os coloca como entradas da matriz (adição reduz a soma de pares). Por isso é natural que sejam isomorfos.

Resposta

(a) (G,\cdot) é subgrupo de (\mathbb{R}_{+}^{*},\cdot).
(b) (J,+) é subgrupo de (M_{2\times2}(\mathbb{R}),+).
(c) A aplicação f\colon G\to J dada por f(2^{m}3^{n})=\begin{pmatrix}m & n \\[2pt] -n & m\end{pmatrix} é um isomorfismo, logo G\cong J.]

Exercícios relacionados