Qual é a declinação de um astro que um observador em uma latitude \varphi=23^{\circ} 45^{\prime} S observa com uma altura h=42^{\circ} 11^{\prime} durante sua culminação superior?

Passo 1

O enunciado dá:
  • Latitude do observador: \varphi=23^\circ45'\\ \text{S}.
  • Altura do astro na culminação superior: h=42^\circ11'.
O que é pedido:
  • A declinação \delta do astro (ou as declinações possíveis) que correspondem a essa altura no momento da culminação superior.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
Quando um astro cruza o meridiano local (culminação), o seu ângulo horário é H=0 (culminação superior). A relação geral entre a altura h, a latitude \varphi e a declinação \delta é (fórmula de posição no horizonte):
\sin h = \sin\varphi\,\sin\delta + \cos\varphi\,\cos\delta\,\cos H.
Na culminação superior temos H=0, logo \cos H=1 e a expressão fica
\sin h = \sin\varphi\,\sin\delta + \cos\varphi\,\cos\delta.
Agora reconhece-se a identidade trigonométrica
\cos(\varphi-\delta)=\cos\varphi\cos\delta+\sin\varphi\sin\delta,
portanto
\sin h = \cos(\varphi-\delta).
Isto significa que o complemento do ângulo \varphi-\delta tem seno \sin h; colocando de forma simples obtemos a relação (tomando valores principais entre -90^\circ e +90^\circ)
|\varphi-\delta| = 90^\circ - h.
Essa última igualdade diz que a distância angular entre a latitude e a declinação (no círculo meridiano) é igual ao complemento da altura. A partir daí podemos achar \delta.

Passo 3

Calcular 90^\circ-h.
90^\circ - h = 90^\circ - 42^\circ11' = 47^\circ49'.
(Feito subtraindo minutos: 60' - 11' = 49' e reduzindo 1 grau se necessário — aqui é direto.)
Denotando d = 90^\circ - h = 47^\circ49', a condição é
|\varphi-\delta| = d.
Isto gera duas possibilidades:
\varphi-\delta = +d \quad\text{ou}\quad \varphi-\delta = -d.

Passo 4

Converter a latitude sul em sinal numérico e aplicar as duas possibilidades.
Latitude dada: \varphi=23^\circ45'\\ \text{S}. Em sinal numérico usaremos \varphi=-23^\circ45' (declinações/latitudes sul são negativas).
Opção 1: \varphi-\delta = +d. Então
\delta = \varphi - d = -23^\circ45' - 47^\circ49'.
Fazendo a soma dos módulos (pois o resultado será negativo):
23^\circ45' + 47^\circ49' = (23+47)^\circ + (45'+49') = 70^\circ + 94' = 71^\circ + 34' = 71^\circ34'.
Portanto \delta = -71^\circ34', ou seja \delta=71^\circ34'\\ \text{S}.
Opção 2: \varphi-\delta = -d. Então
\delta = \varphi + d = -23^\circ45' + 47^\circ49'.
Aqui é conveniente subtrair: 47^\circ49' - 23^\circ45' = 24^\circ04'. Assim \delta = +24^\circ04', ou seja \delta=24^\circ04'\\ \text{N}.

Passo 5

Interpretação física (curtinha e útil para prova).
  • As duas soluções correspondem ao mesmo valor de altura no meridiano porque a distância angular entre \varphi e \delta é a mesma em módulo: o astro pode estar ao norte do zênite ou ao sul do zênite no momento da culminação e produzir a mesma altura.
  • \delta=+24^\circ04' indica que o astro está no hemisfério celeste norte; \delta=-71^\circ34' indica que está bem ao sul (hemisfério celeste sul). Em uma questão de prova, se não houver informação extra sobre em que lado do zênite o astro aparece, deve-se apresentar as duas possibilidades e, se pedirem somente uma, justificar por que escolher uma (por exemplo observando se o astro está no norte ou no sul do meridiano a partir da figura/descrição).

Resposta

\delta = 24^\circ04'\\ (\text{N})
\delta = 71^\circ34'\\ (\text{S})

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