Qual é a declinação de um astro que um observador em uma latitude
S observa com uma altura
durante sua culminação superior?
Passo 1
O enunciado dá:
- Latitude do observador:
. - Altura do astro na culminação superior:
.
O que é pedido:
- A declinação
do astro (ou as declinações possíveis) que correspondem a essa altura no momento da culminação superior.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
Quando um astro cruza o meridiano local (culminação), o seu ângulo horário é
(culminação superior). A relação geral entre a altura
, a latitude
e a declinação
é (fórmula de posição no horizonte):
Na culminação superior temos
, logo
e a expressão fica
Agora reconhece-se a identidade trigonométrica
portanto
Isto significa que o complemento do ângulo
tem seno
; colocando de forma simples obtemos a relação (tomando valores principais entre
e
)
Essa última igualdade diz que a distância angular entre a latitude e a declinação (no círculo meridiano) é igual ao complemento da altura. A partir daí podemos achar
.
Passo 3
Calcular
.
(Feito subtraindo minutos:
e reduzindo 1 grau se necessário — aqui é direto.)
Denotando
, a condição é
Isto gera duas possibilidades:
Passo 4
Converter a latitude sul em sinal numérico e aplicar as duas possibilidades.
Latitude dada:
. Em sinal numérico usaremos
(declinações/latitudes sul são negativas).
Opção 1:
. Então
Fazendo a soma dos módulos (pois o resultado será negativo):
Portanto
, ou seja
.
Opção 2:
. Então
Aqui é conveniente subtrair:
. Assim
, ou seja
.
Passo 5
Interpretação física (curtinha e útil para prova).
- As duas soluções correspondem ao mesmo valor de altura no meridiano porque a distância angular entre
e é a mesma em módulo: o astro pode estar ao norte do zênite ou ao sul do zênite no momento da culminação e produzir a mesma altura. -
indica que o astro está no hemisfério celeste norte; indica que está bem ao sul (hemisfério celeste sul). Em uma questão de prova, se não houver informação extra sobre em que lado do zênite o astro aparece, deve-se apresentar as duas possibilidades e, se pedirem somente uma, justificar por que escolher uma (por exemplo observando se o astro está no norte ou no sul do meridiano a partir da figura/descrição).