5- Depois da decolagem, um avião viaja 10,4 \mathrm{~km} do leste para o oeste, 8,7 \mathrm{~km} do sul para o norte e 2,1 \mathrm{~km} de baixo para cima. Qual é a sua distância do ponto de partida?

Passo 1

O enunciado dá os deslocamentos do avião em três direções e pede a distância do ponto de partida. Informações fornecidas:
  • Deslocamento leste–oeste: \Delta x = 10,4\\ \mathrm{km} (do leste para o oeste).
  • Deslocamento sul–norte: \Delta y = 8,7\\ \mathrm{km} (do sul para o norte).
  • Deslocamento baixo–cima: \Delta z = 2,1\\ \mathrm{km} (de baixo para cima).
O que se pede: calcular a distância entre a posição final e o ponto de partida (a magnitude do deslocamento resultante).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): em duas dimensões, a distância entre dois pontos quando conhecemos os deslocamentos em direções perpendiculares é dada pelo teorema de Pitágoras: a hipotenusa é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos catetos. Em três dimensões, a ideia é a mesma: a distância d do ponto de partida ao ponto final, quando os deslocamentos ao longo de eixos perpendiculares são \Delta x,\Delta y,\Delta z, é
d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}.
Aqui cada \Delta é a componente do vetor deslocamento em uma direção ortogonal; o quadrado soma as contribuições e a raiz volta à unidade de comprimento.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao problema, substituímos as componentes dadas:
d=\sqrt{(10,4)^2+(8,7)^2+(2,1)^2}\\ \mathrm{km}.

Passo 4

Calcular cada quadrado separadamente (mostrando as contas):
(10,4)^2 = 108,16,
(8,7)^2 = 75,69,
(2,1)^2 = 4,41.
Somando:
108,16+75,69+4,41 = 188,26.
Portanto
d=\sqrt{188,26}\\ \mathrm{km}.

Passo 5

Agora precisamos extrair a raiz quadrada de 188,26. Primeiro vemos que 13^2=169 e 14^2=196, logo 13<\sqrt{188,26}<14. Para refinar sem calculadora, um método prático é usar a iteração de Newton para raiz quadrada: se S=188,26 e uma aproximação inicial x_0, então
x_{n+1}=\frac{x_n+\dfrac{S}{x_n}}{2}.
Escolhendo x_0=13,7 (porque 13,7^2=187,69 já é bem próximo), calculamos
\frac{S}{x_0}=\frac{188,26}{13,7}\approx13,742336,
x_1=\frac{13,7+13,742336}{2}\approx13,721168.
Fazendo mais uma iteração para melhorar:
\frac{S}{x_1}\approx13,720407,\qquad x_2=\frac{13,721168+13,720407}{2}\approx13,720787.
Assim obtemos
d\approx13,720787\\ \mathrm{km}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (suficiente para este nível de dados), temos
d\approx13,72\\ \mathrm{km}.

Passo 6

Interpretação final curta e incentivo: a distância do avião ao ponto de partida é aproximadamente \,13,72\\ \mathrm{km}. Mandou bem de trazer esse problema — é só aplicar Pitágoras em 3D e refinar a raiz quadrada; continua assim que dá certo!

Resposta

13,72\\ \mathrm{km}

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