• 81 Um bécher cheio com água é equilibrado no prato esquerdo de uma balança de dois pratos. Um cubo com 4 cm de aresta, pendurado num fio, é mergulhado inteiramente na água mas não toca no fundo do bécher. Verifica-se que a adição de uma massa m ao sistema restabelece o equilíbrio. Qual o peso desta massa m e em que prato da balança ela é colocada?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • O enunciado diz que há um béquer cheio de água equilibrado no prato esquerdo de uma balança de dois pratos.
  • Um cubo com aresta 4\\ \text{cm} é pendurado por um fio e mergulhado inteiramente na água, sem tocar no fundo do béquer.
  • Depois de mergulhado, verifica-se que para restabelecer o equilíbrio é preciso adicionar uma massa m.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Qual o peso dessa massa m?
    2. Em que prato da balança essa massa deve ser colocada?

Passo 2

Conceito físico que vamos usar: princípio de Arquimedes (empuxo).
  • O princípio de Arquimedes diz que um corpo imerso em um fluido sofre uma força vertical para cima chamada empuxo F_{\text{b}}, cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.
  • Escrevemos isso com a fórmula
F_{\text{b}} = \rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\;g,á
onde:
  • \rho_{\text{água}}á é a massa específica (densidade) da água ( \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}á para água pura a temperatura ambiente);
  • V_{\text{sub}} é o volume do corpo imerso (aqui, o volume do cubo);
  • g é a aceleração da gravidade (usar \,g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\, se for pedir valor numérico do peso).
Explicação física extra (ação e reação útil para a balança):
  • O empuxo F_{\text{b}} atua para cima sobre o cubo; pela terceira lei de Newton, o cubo exerce sobre o fluido uma força igual e oposta para baixo, de módulo F_{\text{b}}.
  • Essa força extra para baixo atua sobre o conjunto béquer+água, fazendo com que o prato esquerdo passe a suportar um peso adicional igual a F_{\text{b}}. Assim, para restaurar o equilíbrio, é preciso acrescentar no prato oposto (direito) uma massa cuja força peso seja igual a esse empuxo.

Passo 3

Calcular o volume do cubo (pegando a aresta do enunciado: 4\\ \text{cm}).
  • Volume do cubo:
V = a^3,
onde a é a aresta. Com a=4\\ \text{cm} temos primeiro converter para metros:
a = 4\\ \text{cm} = 4\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Então
V = (4\times10^{-2})^3 = 64\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3} = 6{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3}.
(ou, em unidades mais familiares, V=64\\ \text{cm}^3, lembrando que 1\\ \text{cm}^3=10^{-6}\\ \mathrm{m^3}.)

Passo 4

Calcular a massa de água deslocada (massa do volume de água igual ao volume do cubo).
  • A massa do fluido deslocado é
m_{\text{água}}=\rho_{\text{água}}\,V.áá
Substituindo \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}á e V=64\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3},
m_{\text{água}}=1000\cdot 64\times10^{-6}=0{,}064\\ \mathrm{kg}.á
Em gramas, isso é m_{\text{água}}=64\\ \mathrm{g}á.

Passo 5

Calcular o empuxo (força para cima) e interpretar qual massa deve ser adicionada na balança.
  • O empuxo vale:
F_{\text{b}}=\rho_{\text{água}}\,V\,g = m_{\text{água}}\,g.áá
Substituindo m_{\text{água}}=0{,}064\\ \mathrm{kg}á obtemos
F_{\text{b}}=0{,}064\;g\\ \mathrm{N}.
Se for preciso um valor numérico, com g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} tem-se F_{\text{b}}\approx0{,}627\\ \mathrm{N}.
  • Como explicado no Passo 2, ao mergulhar o cubo o prato esquerdo recebe um incremento de peso igual a F_{\text{b}}. Para restabelecer o equilíbrio, devemos colocar no prato direito uma massa cuja força peso seja exatamente F_{\text{b}}. Essa massa tem, portanto, massa
m = m_{\text{água}} = 0{,}064\\ \mathrm{kg} = 64\\ \mathrm{g},á
e seu peso (força) é m\,g = 0{,}064\;g\\ \mathrm{N} (aprox. 0{,}63\\ \mathrm{N}).

Passo 6

Conclusão sucinta (onde colocar e qual o peso/massa)
  • A massa a adicionar corresponde à massa da água deslocada pelo cubo (porque é esse o empuxo).
  • Deve ser colocada no prato oposto ao do béquer (ou seja, no prato direito) para contrabalançar o aumento de peso no prato esquerdo.

Resposta

Peso: 0{,}064\;g\\ \mathrm{N} (isto é, m=0{,}064\\ \mathrm{kg}=64\\ \mathrm{g}; num valor numérico com g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} dá aproximadamente 0{,}63\\ \mathrm{N}).
Colocação: prato direito.

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