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- 38 Caixas de livros, cada qual com 20 kg , são colocadas sobre uma balsa de 3 m de lado e 11 cm de espessura, que flutua em águas calmas. A madeira da balsa tem a densidade de 600
. Quantas caixas podem ser colocadas sobre a balsa sem haver perigo de os livros se molharem?
- 38 Caixas de livros, cada qual com 20 kg , são colocadas sobre uma balsa de 3 m de lado e 11 cm de espessura, que flutua em águas calmas. A madeira da balsa tem a densidade de 600
. Quantas caixas podem ser colocadas sobre a balsa sem haver perigo de os livros se molharem?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
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Dados fornecidos:
- Há
caixas disponíveis. - Massa de cada caixa:
. - A balsa é um quadrado de lado
. - Espessura (altura) da balsa:
. - Densidade da madeira da balsa:
. - Densidade da água (água doce, presumida):
.
- Há
-
O que o problema pede:
- Determinar quantas caixas (no máximo) podem ser colocadas sobre a balsa sem perigo de os livros se molharem.
Passo 2
Conceito físico que vamos usar (explicadinho): princípio de Arquimedes. Ele diz que a força de empuxo que age sobre um corpo submerso (ou parcialmente submerso) é igual ao peso do volume de fluido deslocado. Em fórmula:
onde
-
é a densidade da água (em ); -
é o volume do corpo que está submerso (em ); -
é a aceleração da gravidade (em ); -
tem unidades de força (N).
Para a balsa em equilíbrio vertical, o empuxo equilibra o peso total (peso da balsa + peso das caixas).
Passo 3
Condição para “não molhar os livros”: a parte superior da balsa não deve ficar abaixo da linha d’água. Ou seja, a balsa pode afundar até ficar completamente submersa, mas não pode ultrapassar isso. Portanto, a situação limite segura é quando a balsa fica totalmente submersa (volume submerso igual ao volume total da balsa). Nesse limite, o empuxo máximo disponível é o peso da água cujo volume é igual ao volume total da balsa.
Logo, massa máxima que a balsa pode suportar (massa das caixas) é a diferença entre a massa da água deslocada, quando a balsa está totalmente submersa, e a massa da própria balsa.
Em fórmula para a massa máxima de carga
:
Observação pedagógica: os fatores
(gravidade) aparecem tanto no peso da água deslocada quanto no peso da balsa, então ao passar de forças para massas eles se cancelam; por isso podemos trabalhar diretamente com massas usando densidades.
Passo 4
Calcular o volume da balsa
. A balsa é um paralelepípedo com base quadrada de lado
e altura
. Assim:
Fazendo a conta:
Passo 5
Calcular a massa da madeira da balsa:
Fazendo a multiplicação:
Passo 6
Calcular a massa de água deslocada quando a balsa está totalmente submersa (essa é a “capacidade de empuxo” em termos de massa):
Logo:
Passo 7
Agora a massa máxima de carga (caixas) que pode ser colocada sem que a água passe por cima é:
Portanto:
Também visto pela fórmula simplificada:
Passo 8
Cada caixa tem massa
. O número máximo de caixas inteiras que pode ser colocado é o inteiro imediato menor ou igual a
:
Como não se pode colocar uma fração de caixa, toma-se a parte inteira (arredondamento para baixo):
Passo 9
Interpretação final e segurança: embora haja
caixas disponíveis, somente
podem ser colocadas com segurança sem risco de os livros se molharem (colocar a vigésima caixa faria a balsa ficar mais que totalmente submersa, molhando os livros).
Força final de ânimo: já passou pela parte chata da conta — você consegue fazer isso na prova também! Respira e bora praticar mais alguns exercícios.