• 38 Caixas de livros, cada qual com 20 kg , são colocadas sobre uma balsa de 3 m de lado e 11 cm de espessura, que flutua em águas calmas. A madeira da balsa tem a densidade de 600 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}. Quantas caixas podem ser colocadas sobre a balsa sem haver perigo de os livros se molharem?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • \,38 caixas disponíveis.
    • Massa de cada caixa: \,20\\ \mathrm{kg}.
    • A balsa é um quadrado de lado \,3\\ \mathrm{m}.
    • Espessura (altura) da balsa: \,11\\ \mathrm{cm} = 0{,}11\\ \mathrm{m}.
    • Densidade da madeira da balsa: \rho_{\text{madeira}}=600\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
    • Densidade da água (água doce, presumida): \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3á.
  • O que o problema pede:
    • Determinar quantas caixas (no máximo) podem ser colocadas sobre a balsa sem perigo de os livros se molharem.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicadinho): princípio de Arquimedes. Ele diz que a força de empuxo que age sobre um corpo submerso (ou parcialmente submerso) é igual ao peso do volume de fluido deslocado. Em fórmula:
F_{\text{empuxo}}=\rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,g,á
onde
  • \rho_{\text{água}}á é a densidade da água (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3);
  • V_{\text{sub}} é o volume do corpo que está submerso (em \mathrm{m}^3);
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m}/\mathrm{s}^2);
  • F_{\text{empuxo}} tem unidades de força (N).
Para a balsa em equilíbrio vertical, o empuxo equilibra o peso total (peso da balsa + peso das caixas).

Passo 3

Condição para “não molhar os livros”: a parte superior da balsa não deve ficar abaixo da linha d’água. Ou seja, a balsa pode afundar até ficar completamente submersa, mas não pode ultrapassar isso. Portanto, a situação limite segura é quando a balsa fica totalmente submersa (volume submerso igual ao volume total da balsa). Nesse limite, o empuxo máximo disponível é o peso da água cujo volume é igual ao volume total da balsa.
Logo, massa máxima que a balsa pode suportar (massa das caixas) é a diferença entre a massa da água deslocada, quando a balsa está totalmente submersa, e a massa da própria balsa.
Em fórmula para a massa máxima de carga M_{\text{máx}}á:
M_{\text{máx}} = \rho_{\text{água}}\,V_{\text{balsa}} - \rho_{\text{madeira}}\,V_{\text{balsa}} = (\rho_{\text{água}}-\rho_{\text{madeira}})\,V_{\text{balsa}}.ááá
Observação pedagógica: os fatores g (gravidade) aparecem tanto no peso da água deslocada quanto no peso da balsa, então ao passar de forças para massas eles se cancelam; por isso podemos trabalhar diretamente com massas usando densidades.

Passo 4

Calcular o volume da balsa \,V_{\text{balsa}}. A balsa é um paralelepípedo com base quadrada de lado \,3\\ \mathrm{m} e altura \,0{,}11\\ \mathrm{m}. Assim:
V_{\text{balsa}} = (\text{lado})^2 \times (\text{altura}) = 3^2 \times 0{,}11 = 9 \times 0{,}11.
Fazendo a conta:
V_{\text{balsa}} = 0{,}99\\ \mathrm{m}^3.

Passo 5

Calcular a massa da madeira da balsa:
m_{\text{madeira}} = \rho_{\text{madeira}} \, V_{\text{balsa}} = 600 \times 0{,}99.
Fazendo a multiplicação:
m_{\text{madeira}} = 594\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Calcular a massa de água deslocada quando a balsa está totalmente submersa (essa é a “capacidade de empuxo” em termos de massa):
m_{\text{água\,deslocada}} = \rho_{\text{água}} \, V_{\text{balsa}} = 1000 \times 0{,}99.áá
Logo:
m_{\text{água\,deslocada}} = 990\\ \mathrm{kg}.á

Passo 7

Agora a massa máxima de carga (caixas) que pode ser colocada sem que a água passe por cima é:
M_{\text{máx}} = m_{\text{água\,deslocada}} - m_{\text{madeira}} = 990 - 594.áá
Portanto:
M_{\text{máx}} = 396\\ \mathrm{kg}.á
Também visto pela fórmula simplificada:
M_{\text{máx}}=(\rho_{\text{água}}-\rho_{\text{madeira}})\,V_{\text{balsa}}=(1000-600)\times 0{,}99=400\times0{,}99=396\\ \mathrm{kg}.áá

Passo 8

Cada caixa tem massa \,20\\ \mathrm{kg}. O número máximo de caixas inteiras que pode ser colocado é o inteiro imediato menor ou igual a \dfrac{M_{\text{máx}}}{20}á:
\frac{396}{20}=19{,}8.
Como não se pode colocar uma fração de caixa, toma-se a parte inteira (arredondamento para baixo):
\text{número de caixas} = 19.ú

Passo 9

Interpretação final e segurança: embora haja \,38 caixas disponíveis, somente \,19 podem ser colocadas com segurança sem risco de os livros se molharem (colocar a vigésima caixa faria a balsa ficar mais que totalmente submersa, molhando os livros).
Força final de ânimo: já passou pela parte chata da conta — você consegue fazer isso na prova também! Respira e bora praticar mais alguns exercícios.

Resposta

\text{19 caixas}

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