Decompõe em produto de factores as seguintes expressões algébricas.
15 a^{2} x^{2}-30 a^{2} x^{3}+105 a^{2} x^{4}-75 a^{2} x^{5}

Passo 1

O enunciado pede para decompor em produto de fatores a expressão
15a^{2}x^{2}\;-\;30a^{2}x^{3}\;+\;105a^{2}x^{4}\;-\;75a^{2}x^{5}.
Aqui o conteúdo é fatoração de polinômios, e vamos usar primeiro a propriedade de fator comum a todos os termos.

Passo 2

Em cada termo vemos que há o fator numérico comum 15, o fator literais comuns a^{2} e x^{2}. Então extraímos este fator:
15a^{2}x^{2}\;-\;30a^{2}x^{3}\;+\;105a^{2}x^{4}\;-\;75a^{2}x^{5} =15a^{2}x^{2}\bigl(1-2x+7x^{2}-5x^{3}\bigr).

Passo 3

Para ver se podemos fatorar ainda o polinômio interno 1-2x+7x^{2}-5x^{3}, aplicamos o Teorema das Raízes Racionais testando candidatos da forma \pm1,\pm\tfrac15. Nenhum deles anula esse polinômio, logo ele é irredutível sobre \mathbb{Q}.

Resposta

15a^{2}x^{2}\,\bigl(1 - 2x + 7x^{2} - 5x^{3}\bigr).

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