Decompõe em produto de factores as seguintes expressões algébricas.
12 x^{2} y^{2}-18 x y^{3}+24 x^{3} y

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
12x^{2}y^{2} \;-\; 18xy^{3} \;+\; 24x^{3}y
e pede para decompô-la em produto de fatores. O conteúdo aqui é fatoração de polinômios, e vamos precisar identificar primeiro o fator comum a todos os termos e, em seguida, ver se o polinômio que sobra admite fatoração adicional.

Passo 2

Para achar o fator comum, observamos os coeficientes e os monômios separadamente.
1. Os coeficientes são 12, -18 e 24. O máximo divisor comum deles é
\gcd(12,\,18,\,24)=6.
2. Nos monômios x^{2}y^{2}, x\,y^{3} e x^{3}y, o menor expoente de x é 1 e o menor de y também é 1. Logo, o fator comum de monômios é x\,y.
Combinando, o fator comum a todos os termos é
6\,x\,y.

Passo 3

Fatorando 6xy em todos os termos, dividimos cada termo por 6xy:
\frac{12x^{2}y^{2}}{6xy}=2xy, \quad \frac{-18xy^{3}}{6xy}=-3y^{2}, \quad \frac{24x^{3}y}{6xy}=4x^{2}.
Portanto,
12x^{2}y^{2}-18xy^{3}+24x^{3}y =6xy\bigl(2xy - 3y^{2} + 4x^{2}\bigr).

Passo 4

Para ficar no formato padrão, vamos reescrever o polinômio interno em ordem decrescente de x:
2xy - 3y^{2} + 4x^{2} =4x^{2} + 2xy -3y^{2}.
Tentando fatorar 4x^{2}+2xy-3y^{2} como produto de dois polinômios lineares de coeficientes inteiros, vemos que não existe par de fatores inteiros cujo produto seja -12 (coeficiente 4\cdot(-3)) e cuja soma seja 2. Logo esse trinômio é irredutível sobre \mathbb Z[x,y].

Resposta

6\,x\,y\;\bigl(4x^{2}+2xy-3y^{2}\bigr)

Exercícios relacionados