Decomponha o número 1205.
Passo 1
O enunciado pede para decompor o número
.
Informações dadas: apenas o número .
O objetivo é escrever como produto de números primos (fatores primos).
Informações dadas: apenas o número
O objetivo é escrever
Passo 2
O que é decomposição em fatores primos?
- Um número primo é um inteiro maior que
que só tem divisores e ele mesmo. - Um número composto tem divisores além de
e ele mesmo e pode ser escrito como produto de primos. - Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, toda decomposição em primos é única (ignorando a ordem).
Vou fatorarem primos, seguindo regras simples de divisibilidade e testes de primalidade.
Passo 3
Verificação de divisibilidade fácil: observe o último algarismo de
.
- Um número termina em
ou se for divisível por . Como termina em , ele é divisível por .
Faço a divisão:
Logo
. Agora preciso ver se
é primo ou se pode ser ainda fatorado.
Passo 4
Como testar se
é primo?
Regra prática: para saber se um inteiro é primo, basta testar divisores primos até
. Se nenhum primo
divide
, então
é primo. Isso funciona porque, se
tivesse dois fatores maiores que
, seu produto seria maior que
.
Calculo aproximado da raiz quadrada:
Regra prática: para saber se um inteiro
Calculo aproximado da raiz quadrada:
então
está entre
e
. Logo basta testar os primos
.
Passo 5
Testes de divisibilidade para
:
-
Divisão por
: é ímpar (termina em ), logo não divisível por . -
Divisão por
: soma dos dígitos . Como não é múltiplo de , não é divisível por . -
Divisão por
: termina em , não é nem , então não é divisível por . -
Divisão por
: verifico . Como , não é divisível por . -
Divisão por
: . Como , não é divisível por . (Alternativamente, a diferença alternada não é múltiplo de .) -
Divisão por
: . Como , não é divisível por .
Nenhum dos primos menores ou iguais a
divide
, portanto
é primo.
Passo 6
Concluindo a fatoração:
é primo e já temos um fator
. Assim a decomposição em primos de
é
Passo 7
Cheque rápido (multiplicação para conferir):
. Está certo!
Dica de prova: ao ver um número terminando em , tente sempre dividir por
primeiro — é um atalho que salva tempo. Respire fundo: você já tem a resposta e o método para fazer isso em prova.
Dica de prova: ao ver um número terminando em