Decomponha o número 1205.

Passo 1

O enunciado pede para decompor o número 1205.
Informações dadas: apenas o número 1205.
O objetivo é escrever 1205 como produto de números primos (fatores primos).

Passo 2

O que é decomposição em fatores primos?
  • Um número primo é um inteiro maior que 1 que só tem divisores 1 e ele mesmo.
  • Um número composto tem divisores além de 1 e ele mesmo e pode ser escrito como produto de primos.
  • Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, toda decomposição em primos é única (ignorando a ordem).
    Vou fatorar 1205 em primos, seguindo regras simples de divisibilidade e testes de primalidade.

Passo 3

Verificação de divisibilidade fácil: observe o último algarismo de 1205.
  • Um número termina em 0 ou 5 se for divisível por 5. Como 1205 termina em 5, ele é divisível por 5.
    Faço a divisão:
1205 \div 5 = 241.
Logo 1205 = 5 \times 241. Agora preciso ver se 241 é primo ou se pode ser ainda fatorado.

Passo 4

Como testar se 241 é primo?
Regra prática: para saber se um inteiro n é primo, basta testar divisores primos até \sqrt{n}. Se nenhum primo \le \sqrt{n} divide n, então n é primo. Isso funciona porque, se n tivesse dois fatores maiores que \sqrt{n}, seu produto seria maior que n.
Calculo aproximado da raiz quadrada:
15^2 = 225,\qquad 16^2 = 256,
então \sqrt{241} está entre 15 e 16. Logo basta testar os primos 2,3,5,7,11,13.

Passo 5

Testes de divisibilidade para 241:
  • Divisão por 2: 241 é ímpar (termina em 1), logo não divisível por 2.
  • Divisão por 3: soma dos dígitos 2+4+1=7. Como 7 não é múltiplo de 3, 241 não é divisível por 3.
  • Divisão por 5: termina em 1, não é 0 nem 5, então não é divisível por 5.
  • Divisão por 7: verifico 7\cdot34=238. Como 241-238=3\neq0, 241 não é divisível por 7.
  • Divisão por 11: 11\cdot21=231. Como 241-231=10\neq0, não é divisível por 11. (Alternativamente, a diferença alternada 2-4+1=-1 não é múltiplo de 11.)
  • Divisão por 13: 13\cdot18=234. Como 241-234=7\neq0, não é divisível por 13.
Nenhum dos primos menores ou iguais a 15 divide 241, portanto 241 é primo.

Passo 6

Concluindo a fatoração: 241 é primo e já temos um fator 5. Assim a decomposição em primos de 1205 é
1205 = 5 \times 241.

Passo 7

Cheque rápido (multiplicação para conferir): 5\times241 = 1205. Está certo!
Dica de prova: ao ver um número terminando em 5, tente sempre dividir por 5 primeiro — é um atalho que salva tempo. Respire fundo: você já tem a resposta e o método para fazer isso em prova.

Resposta

1205 = 5 \cdot 241

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