(3 pontos) Considere a funçāo f(x)=\operatorname{sen} x.
a) (1.5) Encontre a série de Maclaurin da funçāo f. Qual é o raio de convergência desta série?
b) (0.5) Utilizando o item anterior, encontre uma série que representa a funçāo g(x)=\operatorname{sen}\left(x^{3}\right).
c) (1.0) Obtenha uma expressāo para \int \operatorname{sen}\left(x^{3}\right) d x como uma série de potências.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que é dado.
  • Dado: a função f(x)=\operatorname{sen} x.
  • Perguntas:
    • (a) Encontrar a série de Maclaurin de f e o raio de convergência dessa série.
    • (b) Usando (a), encontrar uma série que represente g(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr).
    • (c) Obter uma expressão para \displaystyle \int \operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr)\,dx como uma série de potências.

Passo 2

Relembrando a fórmula que vamos usar (Maclaurin = série de Taylor centrada em 0). Para uma função f suficientemente suave em torno de 0, a série de Maclaurin é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0. Vou aplicar isso a f(x)=\operatorname{sen} x.

Passo 3

Calculemos as derivadas de \operatorname{sen} x e seus valores em 0, mostrando o ciclo das derivadas:
\begin{aligned} f(x)&=\operatorname{sen} x, & f(0)&=\operatorname{sen}0=0,\\[4pt] f'(x)&=\operatorname{cos} x, & f'(0)&=\operatorname{cos}0=1,\\[4pt] f''(x)&=-\operatorname{sen} x, & f''(0)&=-\operatorname{sen}0=0,\\[4pt] f^{(3)}(x)&=-\operatorname{cos} x, & f^{(3)}(0)&=-\operatorname{cos}0=-1,\\[4pt] f^{(4)}(x)&=\operatorname{sen} x, & f^{(4)}(0)&=\operatorname{sen}0=0, \end{aligned}
e o padrão se repete com periodo 4. Observando, apenas as derivadas de ordem ímpar dão valor não nulo em 0; mais precisamente, para n\ge 0,
f^{(2n+1)}(0)=(-1)^{n},\qquad f^{(2n)}(0)=0.]

Passo 4

Agora substituímos esses valores na fórmula de Maclaurin. Só aparecem termos com potências ímpares x^{2n+1}. Assim,
\operatorname{sen} x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(2n+1)}(0)}{(2n+1)!}\,x^{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Este é o desenvolvimento de Maclaurin de \operatorname{sen} x.

Passo 5

Determinar o raio de convergência. Tome o termo geral em valor absoluto
a_{n}(x)=\left|(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right|=\frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Use o teste da razão entre termos consecutivos (em n grande, mantendo x fixo):
\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)} =\frac{|x|^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}\cdot\frac{(2n+1)!}{|x|^{2n+1}} =\frac{|x|^{2}}{(2n+3)(2n+2)}.
Fazendo n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}=0
para todo x fixo. Como o limite é 0<1 qualquer que seja x, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o raio de convergência é infinito:
R=\infty.

Passo 6

Parte (b): obter a série de \operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr). A ideia é simples: substituir x por x^{3} na série de \operatorname{sen} x. A série de \operatorname{sen} x foi
\operatorname{sen} x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Fazendo x\mapsto x^{3} obtemos
\operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\bigl(x^{3}\bigr)^{2n+1}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{6n+3}}{(2n+1)!}.
Observação: como a série original converge para todo x, a série substituída também define \operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr) para todo x.

Passo 7

Parte (c): integrar \operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr) como série de potências. Como a série da parte (b) converge uniformemente em intervalos compactos, pode-se integrar termo a termo. Integramos cada termo
\int x^{6n+3}\,dx=\frac{x^{6n+4}}{6n+4}.
Logo, integrando a série termo a termo obtemos
\int \operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr)\,dx =\int\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{6n+3}}{(2n+1)!}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{6n+4}}{(2n+1)!\,(6n+4)}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (curto e prático):
  • Decore as séries básicas: \operatorname{sen} x, \operatorname{cos} x, e^{x}. Isso economiza tempo.
  • Para g(x)=f(h(x)) basta substituir x por h(x) na série de f quando h(0)=0 (evita termos constantes indesejados).
  • Para integrar ou derivar séries de potência dentro do intervalo de convergência, faça termo a termo (é permitido e prático).

Resposta

\operatorname{sen} x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad R=\infty
\operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{x^{6n+3}}{(2n+1)!}
\displaystyle \int \operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr)\,dx=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{x^{6n+4}}{(2n+1)!\,(6n+4)}+C

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