(3 pontos) Considere a funçāo f(x)=\operatorname{sen} x.
a) (1.5) Encontre a série de Maclaurin da funçāo f. Qual é o raio de convergência desta série?
b) (0.5) Utilizando o item anterior, encontre uma série que representa a funçāo g(x)=\operatorname{sen}\left(x^{3}\right).
c) (1.0) Obtenha uma expressāo para \int \operatorname{sen}\left(x^{3}\right) d x como uma série de potências.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que é dado.
Dado: a função f(x)=\operatorname{sen} x.
Perguntas:
(a) Encontrar a série de Maclaurin de f e o raio de convergência dessa série.
(b) Usando (a), encontrar uma série que represente g(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr).
(c) Obter uma expressão para \displaystyle \int \operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr)\,dx como uma série de potências.
Passo 2
Relembrando a fórmula que vamos usar (Maclaurin = série de Taylor centrada em 0). Para uma função f suficientemente suave em torno de 0, a série de Maclaurin é
para todo x fixo. Como o limite é 0<1 qualquer que seja x, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o raio de convergência é infinito:
R=\infty.
Passo 6
Parte (b): obter a série de \operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr). A ideia é simples: substituir x por x^{3} na série de \operatorname{sen} x. A série de \operatorname{sen} x foi
Observação: como a série original converge para todo x, a série substituída também define \operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr) para todo x.
Passo 7
Parte (c): integrar \operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr) como série de potências. Como a série da parte (b) converge uniformemente em intervalos compactos, pode-se integrar termo a termo. Integramos cada termo