Decompor matrizes quadradas grandes pode às vezes tornar suas inversas mais fáceis de se calcular, particularmente se os blocos tiverem uma forma adequada. Nos Exercícios de 64 a 68, verifique, por multiplicação por blocos, que a inversa de uma matriz, decomposta como apresentado, resulta na matriz dada. (Assuma que todas as inversas existem, quando necessário.)
Passo 1
O enunciado pede para verificar, por multiplicação por blocos, que a inversa da matriz
é
O conteúdo envolvido é inversão de matrizes em blocos e vamos mostrar que
]
Passo 2
Escrevemos o produto por blocos:
]
Passo 3
Calculemos o bloco (
):
Passo 4
Calculemos o bloco (
):
Passo 5
Calculemos o bloco (
):
Passo 6
Calculemos o bloco (
):
Passo 7
Como todos os blocos resultam nos blocos da identidade, temos
Análogamente verifica-se
. Logo a expressão dada é de fato a inversa de
.
Resposta
]