Decompor o vetor \vec{v}=(2,-1,3) em dois vetores \vec{u} e \vec{\omega}, tal que \vec{u} seja paralelo ao plano \pi: 2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}-3=0 e \vec{\omega} perpendicular ao plano \pi.

Passo 1

O enunciado pede para decompor o vetor \vec{v}=(2,-1,3) em \vec{v}=\vec{u}+\vec{\omega}, onde \vec{u} é paralelo ao plano \pi:2x-y+z-3=0 e \vec{\omega} é perpendicular a \pi. O método envolve usar a projeção de \vec{v} sobre o vetor normal ao plano.

Passo 2

O vetor normal ao plano \pi é
n = (2,-1,1),
pois os coeficientes de x,y,z em 2x-y+z-3=0 formam n.

Passo 3

Calculamos a projeção de \vec{v} em n, que será \vec{\omega}:
\vec{\omega} = \frac{\vec{v}\cdot n}{n\cdot n}\,n.
Primeiro,
\vec{v}\cdot n = 2\cdot2 + (-1)\cdot(-1) + 3\cdot1 = 8
e
n\cdot n = 2^2 + (-1)^2 + 1^2 = 6.
Logo,
\vec{\omega} = \frac{8}{6}(2,-1,1) = \Bigl(\tfrac{8}{3},-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\Bigr).

Passo 4

Agora obtemos \vec{u}=\vec{v}-\vec{\omega}:
\vec{u} = (2,-1,3) - \Bigl(\tfrac{8}{3},-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\Bigr) = \Bigl(2-\tfrac{8}{3},\, -1+\tfrac{4}{3},\,3-\tfrac{4}{3}\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3},\,\tfrac{5}{3}\Bigr).
Verificamos que \vec{u} é paralelo ao plano porque
\vec{u}\cdot n = 2\cdot(-\tfrac{2}{3}) + (-1)\cdot\tfrac{1}{3} + 1\cdot\tfrac{5}{3} = 0.

Resposta

\displaystyle \vec{u}=\bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{5}{3}\bigr), \quad \vec{\omega}=\bigl(\tfrac{8}{3},-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\bigr).

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