Exercício 2. Seja [T]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right) a matriz de um operador linear T de \mathbb{R}^{2}, em relação à base canônica \mathcal{B}. Encontre todos os autovalores do operador linear T. Existem, neste caso, dois autovetores L.I.?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de um operador linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} na base canônica
[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede os autovalores e se existem dois autovetores linearmente independentes. Para isso vamos usar o conceito de polinômio característico
\det\bigl([T]_{\mathcal{B}}-\lambda I\bigr)=0
e, em seguida, analisar a dimensão do espaço próprio associado a cada autovalor.

Passo 2

Escrevendo
[T]_{\mathcal{B}}-\lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1\\\\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}
o polinômio característico é
\det\bigl([T]_{\mathcal{B}}-\lambda I\bigr) =(1-\lambda)\,(1-\lambda) =(1-\lambda)^{2}.
Logo a única raiz é
\lambda=1
com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Para achar o espaço próprio relativo a \lambda=1\) resolvemos \[\bigl([T]_{\mathcal{B}}-I\bigr)x = \begin{pmatrix} 1-1 & 1\\\\ 0 & 1-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} x_{2}=0,\\\\ 0=0, \end{cases}
de onde x_{1}\] é livre e \(x_{2}=0. Assim o espaço próprio é
\{(x_{1},0):x_{1}\in\mathbb{R}\} =\mathrm{span}\{(1,0)\}.
A dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) é 1.

Passo 4

Como a multiplicidade geométrica é 1, só há um autovetor (até escala) associado a \lambda=1. Ou seja, não existem dois autovetores linearmente independentes.

Resposta

O único autovalor é \lambda=1 (dupla) e há apenas um autovetor independente, logo não se obtêm dois autovetores L.I.

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