Questão 4 ( 2,5 pontos) Considere uma elipse em
com as seguintes características:
- contida no plano
- de centro
- eixo maior de tamanho 10 e contido na reta
- semieixo menor medindo 3
(a) Determine as coordenadas dos vértices e dos focos.
(b) Determine a equação do elipsoide definido pela rotação da elipse em torno do eixo maior
(c) Determine a equação do elipsoide definido pela rotação da elipse em torno do eixo menor
(a) Determine as coordenadas dos vértices e dos focos.
(b) Determine a equação do elipsoide definido pela rotação da elipse em torno do eixo maior
(c) Determine a equação do elipsoide definido pela rotação da elipse em torno do eixo menor
Passo 1
O enunciado descreve uma elipse em
contida no plano
, de centro
, com eixo maior de comprimento
alinhado com a reta
e semieixo menor de comprimento
. Vamos usar geometria de cônicas em espaço e propriedades de rotação de superfícies para determinar vértices, focos e as equações dos elipsoides gerados.
Passo 2
O semieixo maior vale
e o semieixo menor vale
Passo 3
Como o eixo maior está na direção do vetor
, chamamos
essa direção. O semieixo menor fica no plano
e perpendicular a
, logo está na direção
Passo 4
Os vértices são obtidos adicionando e subtraindo
e
ao centro
. Assim:
vértices maiores:
vértices maiores:
vértices menores:
Passo 5
A distância focal é
Os focos ficam ao longo do eixo maior, a
unidades do centro:
Passo 6
Ao rotacionar a elipse em torno do eixo maior
, o semieixo maior continua de comprimento
e os dois outros semieixos iguais a
. O centro é
. A equação do elipsoide é
Passo 7
Ao rotacionar a elipse em torno do eixo menor
, o semieixo menor continua de comprimento
e os dois outros semieixos iguais a
. O centro é
. A equação do elipsoide é
Resposta
(a) Vértices:
,
,
,
.
Focos: ,
.
(b)
(c)
Focos:
(b)
(c)