Questão 4 ( 2,5 pontos) Considere uma elipse em \mathbb{R}^{3} com as seguintes características:
  • contida no plano x=3
  • de centro (3,1,2)
  • eixo maior de tamanho 10 e contido na reta (x, y, z)=(3,1,0)+\lambda(0,0,1)
  • semieixo menor medindo 3
    (a) Determine as coordenadas dos vértices e dos focos.
    (b) Determine a equação do elipsoide definido pela rotação da elipse em torno do eixo maior
    (c) Determine a equação do elipsoide definido pela rotação da elipse em torno do eixo menor

Passo 1

O enunciado descreve uma elipse em \mathbb{R}^3 contida no plano x=3, de centro (3,1,2), com eixo maior de comprimento 10 alinhado com a reta (3,1,0)+\lambda(0,0,1) e semieixo menor de comprimento 3. Vamos usar geometria de cônicas em espaço e propriedades de rotação de superfícies para determinar vértices, focos e as equações dos elipsoides gerados.

Passo 2

O semieixo maior vale
a = \frac{10}{2} = 5,
e o semieixo menor vale
b = 3.

Passo 3

Como o eixo maior está na direção do vetor (0,0,1), chamamos
\mathbf{v} = (0,0,1)
essa direção. O semieixo menor fica no plano x=3 e perpendicular a \mathbf{v}, logo está na direção
\mathbf{w} = (0,1,0).

Passo 4

Os vértices são obtidos adicionando e subtraindo \,a\,\mathbf{v} e \,b\,\mathbf{w} ao centro (3,1,2). Assim:
vértices maiores:
(3,1,2) \pm 5\,(0,0,1)\;=\;(3,1,7)\quad\text{e}\quad(3,1,-3),
vértices menores:
(3,1,2) \pm 3\,(0,1,0)\;=\;(3,4,2)\quad\text{e}\quad(3,-2,2).

Passo 5

A distância focal é
c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = 4.
Os focos ficam ao longo do eixo maior, a 4 unidades do centro:
(3,1,2)\pm 4\,(0,0,1)\;=\;(3,1,6)\quad\text{e}\quad(3,1,-2).

Passo 6

Ao rotacionar a elipse em torno do eixo maior \mathbf{v}, o semieixo maior continua de comprimento a=5 e os dois outros semieixos iguais a b=3. O centro é (3,1,2). A equação do elipsoide é
\frac{(x-3)^2 + (y-1)^2}{3^2} \;+\;\frac{(z-2)^2}{5^2} \;=\;1.

Passo 7

Ao rotacionar a elipse em torno do eixo menor \mathbf{w}, o semieixo menor continua de comprimento b=3 e os dois outros semieixos iguais a a=5. O centro é (3,1,2). A equação do elipsoide é
\frac{(x-3)^2 + (z-2)^2}{5^2} \;+\;\frac{(y-1)^2}{3^2} \;=\;1.

Resposta

(a) Vértices: (3,1,7), (3,1,-3), (3,4,2), (3,-2,2).
Focos: (3,1,6), (3,1,-2).
(b) \displaystyle \frac{(x-3)^2 + (y-1)^2}{9} + \frac{(z-2)^2}{25} = 1.
(c) \displaystyle \frac{(x-3)^2 + (z-2)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1.

Exercícios relacionados